ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  dm0rn0 Structured version   GIF version

Theorem dm0rn0 4495
Description: An empty domain implies an empty range. (Contributed by NM, 21-May-1998.)
Assertion
Ref Expression
dm0rn0 (dom A = ∅ ↔ ran A = ∅)

Proof of Theorem dm0rn0
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 alnex 1385 . . . . . 6 (x ¬ y xAy ↔ ¬ xy xAy)
2 excom 1551 . . . . . 6 (xy xAyyx xAy)
31, 2xchbinx 606 . . . . 5 (x ¬ y xAy ↔ ¬ yx xAy)
4 alnex 1385 . . . . 5 (y ¬ x xAy ↔ ¬ yx xAy)
53, 4bitr4i 176 . . . 4 (x ¬ y xAyy ¬ x xAy)
6 noel 3222 . . . . . 6 ¬ x
76nbn 614 . . . . 5 y xAy ↔ (y xAyx ∅))
87albii 1356 . . . 4 (x ¬ y xAyx(y xAyx ∅))
9 noel 3222 . . . . . 6 ¬ y
109nbn 614 . . . . 5 x xAy ↔ (x xAyy ∅))
1110albii 1356 . . . 4 (y ¬ x xAyy(x xAyy ∅))
125, 8, 113bitr3i 199 . . 3 (x(y xAyx ∅) ↔ y(x xAyy ∅))
13 abeq1 2144 . . 3 ({xy xAy} = ∅ ↔ x(y xAyx ∅))
14 abeq1 2144 . . 3 ({yx xAy} = ∅ ↔ y(x xAyy ∅))
1512, 13, 143bitr4i 201 . 2 ({xy xAy} = ∅ ↔ {yx xAy} = ∅)
16 df-dm 4298 . . 3 dom A = {xy xAy}
1716eqeq1i 2044 . 2 (dom A = ∅ ↔ {xy xAy} = ∅)
18 dfrn2 4466 . . 3 ran A = {yx xAy}
1918eqeq1i 2044 . 2 (ran A = ∅ ↔ {yx xAy} = ∅)
2015, 17, 193bitr4i 201 1 (dom A = ∅ ↔ ran A = ∅)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  c0 3218   class class class wbr 3755  dom cdm 4288  ran crn 4289
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299
This theorem is referenced by:  rn0  4531  relrn0  4537  imadisj  4630  ndmima  4645  f00  5024  2nd0  5714
  Copyright terms: Public domain W3C validator