ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  gt0add Structured version   GIF version

Theorem gt0add 7317
Description: A positive sum must have a positive addend. Part of Definition 11.2.7(vi) of [HoTT], p. (varies). (Contributed by Jim Kingdon, 26-Jan-2020.)
Assertion
Ref Expression
gt0add ((A B 0 < (A + B)) → (0 < A 0 < B))

Proof of Theorem gt0add
StepHypRef Expression
1 simp3 905 . . 3 ((A B 0 < (A + B)) → 0 < (A + B))
2 0red 6786 . . . 4 ((A B 0 < (A + B)) → 0 ℝ)
3 simp1 903 . . . . 5 ((A B 0 < (A + B)) → A ℝ)
4 simp2 904 . . . . 5 ((A B 0 < (A + B)) → B ℝ)
53, 4readdcld 6812 . . . 4 ((A B 0 < (A + B)) → (A + B) ℝ)
6 axltwlin 6844 . . . 4 ((0 (A + B) A ℝ) → (0 < (A + B) → (0 < A A < (A + B))))
72, 5, 3, 6syl3anc 1134 . . 3 ((A B 0 < (A + B)) → (0 < (A + B) → (0 < A A < (A + B))))
81, 7mpd 13 . 2 ((A B 0 < (A + B)) → (0 < A A < (A + B)))
94, 3ltaddposd 7275 . . 3 ((A B 0 < (A + B)) → (0 < BA < (A + B)))
109orbi2d 703 . 2 ((A B 0 < (A + B)) → ((0 < A 0 < B) ↔ (0 < A A < (A + B))))
118, 10mpbird 156 1 ((A B 0 < (A + B)) → (0 < A 0 < B))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wo 628   w3a 884   wcel 1390   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6670  0cc0 6671   + caddc 6674   < clt 6817
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-1cn 6736  ax-1re 6737  ax-icn 6738  ax-addcl 6739  ax-addrcl 6740  ax-mulcl 6741  ax-addcom 6743  ax-addass 6745  ax-i2m1 6748  ax-0id 6751  ax-rnegex 6752  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-ltadd 6759
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-ltxr 6822
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator