ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fznlem Structured version   GIF version

Theorem fznlem 8675
Description: A finite set of sequential integers is empty if the bounds are reversed. (Contributed by Jim Kingdon, 16-Apr-2020.)
Assertion
Ref Expression
fznlem ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))

Proof of Theorem fznlem
Dummy variable 𝑘 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 zre 8025 . . . . . . . . . . 11 (𝑀 ℤ → 𝑀 ℝ)
2 zre 8025 . . . . . . . . . . 11 (𝑁 ℤ → 𝑁 ℝ)
3 lenlt 6891 . . . . . . . . . . 11 ((𝑀 𝑁 ℝ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
41, 2, 3syl2an 273 . . . . . . . . . 10 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀𝑁 ↔ ¬ 𝑁 < 𝑀))
54biimpd 132 . . . . . . . . 9 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀𝑁 → ¬ 𝑁 < 𝑀))
65con2d 554 . . . . . . . 8 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → ¬ 𝑀𝑁))
76imp 115 . . . . . . 7 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) → ¬ 𝑀𝑁)
87adantr 261 . . . . . 6 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → ¬ 𝑀𝑁)
9 simplll 485 . . . . . . . 8 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑀 ℤ)
109zred 8136 . . . . . . 7 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑀 ℝ)
11 simpr 103 . . . . . . . 8 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑘 ℤ)
1211zred 8136 . . . . . . 7 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑘 ℝ)
13 simpllr 486 . . . . . . . 8 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑁 ℤ)
1413zred 8136 . . . . . . 7 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → 𝑁 ℝ)
15 letr 6898 . . . . . . 7 ((𝑀 𝑘 𝑁 ℝ) → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → 𝑀𝑁))
1610, 12, 14, 15syl3anc 1134 . . . . . 6 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → ((𝑀𝑘 𝑘𝑁) → 𝑀𝑁))
178, 16mtod 588 . . . . 5 ((((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) 𝑘 ℤ) → ¬ (𝑀𝑘 𝑘𝑁))
1817ralrimiva 2386 . . . 4 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) → 𝑘 ℤ ¬ (𝑀𝑘 𝑘𝑁))
19 rabeq0 3241 . . . 4 ({𝑘 ℤ ∣ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)} = ∅ ↔ 𝑘 ℤ ¬ (𝑀𝑘 𝑘𝑁))
2018, 19sylibr 137 . . 3 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) → {𝑘 ℤ ∣ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)} = ∅)
21 fzval 8646 . . . . 5 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑀...𝑁) = {𝑘 ℤ ∣ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)})
2221eqeq1d 2045 . . . 4 ((𝑀 𝑁 ℤ) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ℤ ∣ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)} = ∅))
2322adantr 261 . . 3 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) → ((𝑀...𝑁) = ∅ ↔ {𝑘 ℤ ∣ (𝑀𝑘 𝑘𝑁)} = ∅))
2420, 23mpbird 156 . 2 (((𝑀 𝑁 ℤ) 𝑁 < 𝑀) → (𝑀...𝑁) = ∅)
2524ex 108 1 ((𝑀 𝑁 ℤ) → (𝑁 < 𝑀 → (𝑀...𝑁) = ∅))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  {crab 2304  c0 3218   class class class wbr 3755  (class class class)co 5455  cr 6710   < clt 6857  cle 6858  cz 8021  ...cfz 8644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltwlin 6796
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-neg 6982  df-z 8022  df-fz 8645
This theorem is referenced by:  fzn  8676
  Copyright terms: Public domain W3C validator