ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvpr1 GIF version

Theorem fvpr1 5308
Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
fvpr1.1 A V
fvpr1.2 𝐶 V
Assertion
Ref Expression
fvpr1 (AB → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1
StepHypRef Expression
1 df-pr 3374 . . . 4 {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})
21fveq1i 5122 . . 3 ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A)
3 necom 2283 . . . 4 (ABBA)
4 fvpr1.1 . . . . 5 A V
5 fvunsng 5300 . . . . 5 ((A V BA) → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
64, 5mpan 400 . . . 4 (BA → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
73, 6sylbi 114 . . 3 (AB → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
82, 7syl5eq 2081 . 2 (AB → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
9 fvpr1.2 . . 3 𝐶 V
104, 9fvsn 5301 . 2 ({⟨A, 𝐶⟩}‘A) = 𝐶
118, 10syl6eq 2085 1 (AB → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = 𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1242   wcel 1390  wne 2201  Vcvv 2551  cun 2909  {csn 3367  {cpr 3368  cop 3370  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853
This theorem is referenced by:  fvpr2  5309
  Copyright terms: Public domain W3C validator