Theorem fvpr1 5308

Description: The value of a function with a domain of two elements. (Contributed by Jeff Madsen, 20-Jun-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvpr1.1	⊢ A ∈ V
fvpr1.2	⊢ 𝐶 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvpr1	⊢ (A ≠ B → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = 𝐶)

Proof of Theorem fvpr1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-pr 3374	. . . 4 ⊢ {⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩} = ({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})
2	1	fveq1i 5122	. . 3 ⊢ ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A)
3		necom 2283	. . . 4 ⊢ (A ≠ B ↔ B ≠ A)
4		fvpr1.1	. . . . 5 ⊢ A ∈ V
5		fvunsng 5300	. . . . 5 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ≠ A) → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
6	4, 5	mpan 400	. . . 4 ⊢ (B ≠ A → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
7	3, 6	sylbi 114	. . 3 ⊢ (A ≠ B → (({⟨A, 𝐶⟩} ∪ {⟨B, 𝐷⟩})‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
8	2, 7	syl5eq 2081	. 2 ⊢ (A ≠ B → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = ({⟨A, 𝐶⟩}‘A))
9		fvpr1.2	. . 3 ⊢ 𝐶 ∈ V
10	4, 9	fvsn 5301	. 2 ⊢ ({⟨A, 𝐶⟩}‘A) = 𝐶
11	8, 10	syl6eq 2085	1 ⊢ (A ≠ B → ({⟨A, 𝐶⟩, ⟨B, 𝐷⟩}‘A) = 𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ≠ wne 2201  Vcvv 2551   ∪ cun 2909  {csn 3367  {cpr 3368  ⟨cop 3370  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  fvpr2  5309