Theorem fvsn 5301

Description: The value of a singleton of an ordered pair is the second member. (Contributed by NM, 12-Aug-1994.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsn.1	⊢ A ∈ V
fvsn.2	⊢ B ∈ V

Assertion

Ref	Expression
fvsn	⊢ ({⟨A, B⟩}‘A) = B

Proof of Theorem fvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsn.1	. . 3 ⊢ A ∈ V
2		fvsn.2	. . 3 ⊢ B ∈ V
3	1, 2	funsn 4891	. 2 ⊢ Fun {⟨A, B⟩}
4		opexgOLD 3956	. . . 4 ⊢ ((A ∈ V ∧ B ∈ V) → ⟨A, B⟩ ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 402	. . 3 ⊢ ⟨A, B⟩ ∈ V
6	5	snid 3394	. 2 ⊢ ⟨A, B⟩ ∈ {⟨A, B⟩}
7		funopfv 5156	. 2 ⊢ (Fun {⟨A, B⟩} → (⟨A, B⟩ ∈ {⟨A, B⟩} → ({⟨A, B⟩}‘A) = B))
8	3, 6, 7	mp2 16	1 ⊢ ({⟨A, B⟩}‘A) = B

Syntax hints:   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551  {csn 3367  ⟨cop 3370  Fun wfun 4839  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  fvsng  5302  fvsnun1  5303  fvpr1  5308