Theorem funssfv 5142

Description: The value of a member of the domain of a subclass of a function. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)

Assertion

Ref	Expression
funssfv	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘A) = (𝐺‘A))

Proof of Theorem funssfv

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvres 5141	. . . 4 ⊢ (A ∈ dom 𝐺 → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘A) = (𝐹‘A))
2	1	eqcomd 2042	. . 3 ⊢ (A ∈ dom 𝐺 → (𝐹‘A) = ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘A))
3		funssres 4885	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
4	3	fveq1d 5123	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺)‘A) = (𝐺‘A))
5	2, 4	sylan9eqr 2091	. 2 ⊢ (((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹) ∧ A ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘A) = (𝐺‘A))
6	5	3impa 1098	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝐺 ⊆ 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐺) → (𝐹‘A) = (𝐺‘A))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 884   = wceq 1242   ∈ wcel 1390   ⊆ wss 2911  dom cdm 4288   ↾ cres 4290  Fun wfun 4839  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  tfrlem9  5876  tfrlemiubacc  5885