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Theorem funssres 4885
Description: The restriction of a function to the domain of a subclass equals the subclass. (Contributed by NM, 15-Aug-1994.)
Assertion
Ref Expression
funssres ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)

Proof of Theorem funssres
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ssel 2933 . . . . . . 7 (𝐺𝐹 → (⟨x, y 𝐺 → ⟨x, y 𝐹))
2 vex 2554 . . . . . . . . 9 x V
3 vex 2554 . . . . . . . . 9 y V
42, 3opeldm 4481 . . . . . . . 8 (⟨x, y 𝐺x dom 𝐺)
54a1i 9 . . . . . . 7 (𝐺𝐹 → (⟨x, y 𝐺x dom 𝐺))
61, 5jcad 291 . . . . . 6 (𝐺𝐹 → (⟨x, y 𝐺 → (⟨x, y 𝐹 x dom 𝐺)))
76adantl 262 . . . . 5 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (⟨x, y 𝐺 → (⟨x, y 𝐹 x dom 𝐺)))
8 funeu2 4870 . . . . . . . . . . . 12 ((Fun 𝐹 x, y 𝐹) → ∃!yx, y 𝐹)
92eldm2 4476 . . . . . . . . . . . . . 14 (x dom 𝐺yx, y 𝐺)
101ancrd 309 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐺𝐹 → (⟨x, y 𝐺 → (⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺)))
1110eximdv 1757 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐺𝐹 → (yx, y 𝐺y(⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺)))
129, 11syl5bi 141 . . . . . . . . . . . . 13 (𝐺𝐹 → (x dom 𝐺y(⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺)))
1312imp 115 . . . . . . . . . . . 12 ((𝐺𝐹 x dom 𝐺) → y(⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺))
14 eupick 1976 . . . . . . . . . . . 12 ((∃!yx, y 𝐹 y(⟨x, y 𝐹 x, y 𝐺)) → (⟨x, y 𝐹 → ⟨x, y 𝐺))
158, 13, 14syl2an 273 . . . . . . . . . . 11 (((Fun 𝐹 x, y 𝐹) (𝐺𝐹 x dom 𝐺)) → (⟨x, y 𝐹 → ⟨x, y 𝐺))
1615exp43 354 . . . . . . . . . 10 (Fun 𝐹 → (⟨x, y 𝐹 → (𝐺𝐹 → (x dom 𝐺 → (⟨x, y 𝐹 → ⟨x, y 𝐺)))))
1716com23 72 . . . . . . . . 9 (Fun 𝐹 → (𝐺𝐹 → (⟨x, y 𝐹 → (x dom 𝐺 → (⟨x, y 𝐹 → ⟨x, y 𝐺)))))
1817imp 115 . . . . . . . 8 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (⟨x, y 𝐹 → (x dom 𝐺 → (⟨x, y 𝐹 → ⟨x, y 𝐺))))
1918com34 77 . . . . . . 7 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (⟨x, y 𝐹 → (⟨x, y 𝐹 → (x dom 𝐺 → ⟨x, y 𝐺))))
2019pm2.43d 44 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (⟨x, y 𝐹 → (x dom 𝐺 → ⟨x, y 𝐺)))
2120impd 242 . . . . 5 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → ((⟨x, y 𝐹 x dom 𝐺) → ⟨x, y 𝐺))
227, 21impbid 120 . . . 4 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (⟨x, y 𝐺 ↔ (⟨x, y 𝐹 x dom 𝐺)))
233opelres 4560 . . . 4 (⟨x, y (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ (⟨x, y 𝐹 x dom 𝐺))
2422, 23syl6rbbr 188 . . 3 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (⟨x, y (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ ⟨x, y 𝐺))
2524alrimivv 1752 . 2 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → xy(⟨x, y (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ ⟨x, y 𝐺))
26 relres 4582 . . 3 Rel (𝐹 ↾ dom 𝐺)
27 funrel 4862 . . . 4 (Fun 𝐹 → Rel 𝐹)
28 relss 4370 . . . 4 (𝐺𝐹 → (Rel 𝐹 → Rel 𝐺))
2927, 28mpan9 265 . . 3 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → Rel 𝐺)
30 eqrel 4372 . . 3 ((Rel (𝐹 ↾ dom 𝐺) Rel 𝐺) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺xy(⟨x, y (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ ⟨x, y 𝐺)))
3126, 29, 30sylancr 393 . 2 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → ((𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺xy(⟨x, y (𝐹 ↾ dom 𝐺) ↔ ⟨x, y 𝐺)))
3225, 31mpbird 156 1 ((Fun 𝐹 𝐺𝐹) → (𝐹 ↾ dom 𝐺) = 𝐺)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  ∃!weu 1897  wss 2911  cop 3370  dom cdm 4288  cres 4290  Rel wrel 4293  Fun wfun 4839
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-fun 4847
This theorem is referenced by:  fun2ssres  4886  funcnvres  4915  funssfv  5142  oprssov  5584
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