Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoprabg GIF version

Theorem fnoprabg 5602
 Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
fnoprabg (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
Distinct variable groups:   𝑥,𝑦,𝑧   𝜑,𝑧
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥,𝑦)   𝜓(𝑥,𝑦,𝑧)

Proof of Theorem fnoprabg
StepHypRef Expression
1 eumo 1932 . . . . . 6 (∃!𝑧𝜓 → ∃*𝑧𝜓)
21imim2i 12 . . . . 5 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
3 moanimv 1975 . . . . 5 (∃*𝑧(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 → ∃*𝑧𝜓))
42, 3sylibr 137 . . . 4 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∃*𝑧(𝜑𝜓))
542alimi 1345 . . 3 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → ∀𝑥𝑦∃*𝑧(𝜑𝜓))
6 funoprabg 5600 . . 3 (∀𝑥𝑦∃*𝑧(𝜑𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)})
75, 6syl 14 . 2 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)})
8 dmoprab 5585 . . 3 dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑𝜓)}
9 nfa1 1434 . . . 4 𝑥𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
10 nfa2 1471 . . . 4 𝑦𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓)
11 simpl 102 . . . . . . . 8 ((𝜑𝜓) → 𝜑)
1211exlimiv 1489 . . . . . . 7 (∃𝑧(𝜑𝜓) → 𝜑)
13 euex 1930 . . . . . . . . . 10 (∃!𝑧𝜓 → ∃𝑧𝜓)
1413imim2i 12 . . . . . . . . 9 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧𝜓))
1514ancld 308 . . . . . . . 8 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓)))
16 19.42v 1786 . . . . . . . 8 (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ (𝜑 ∧ ∃𝑧𝜓))
1715, 16syl6ibr 151 . . . . . . 7 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (𝜑 → ∃𝑧(𝜑𝜓)))
1812, 17impbid2 131 . . . . . 6 ((𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ 𝜑))
1918sps 1430 . . . . 5 (∀𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ 𝜑))
2019sps 1430 . . . 4 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → (∃𝑧(𝜑𝜓) ↔ 𝜑))
219, 10, 20opabbid 3822 . . 3 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ ∃𝑧(𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
228, 21syl5eq 2084 . 2 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
23 df-fn 4905 . 2 ({⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑} ↔ (Fun {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} ∧ dom {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} = {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑}))
247, 22, 23sylanbrc 394 1 (∀𝑥𝑦(𝜑 → ∃!𝑧𝜓) → {⟨⟨𝑥, 𝑦⟩, 𝑧⟩ ∣ (𝜑𝜓)} Fn {⟨𝑥, 𝑦⟩ ∣ 𝜑})
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98  ∀wal 1241   = wceq 1243  ∃wex 1381  ∃!weu 1900  ∃*wmo 1901  {copab 3817  dom cdm 4345  Fun wfun 4896   Fn wfn 4897  {coprab 5513 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944 This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-fun 4904  df-fn 4905  df-oprab 5516 This theorem is referenced by:  fnoprab  5604  ovg  5639
 Copyright terms: Public domain W3C validator