ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnoprabg Structured version   GIF version

Theorem fnoprabg 5544
Description: Functionality and domain of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Aug-2007.)
Assertion
Ref Expression
fnoprabg (xy(φ∃!zψ) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ φ})
Distinct variable groups:   x,y,z   φ,z
Allowed substitution hints:   φ(x,y)   ψ(x,y,z)

Proof of Theorem fnoprabg
StepHypRef Expression
1 eumo 1929 . . . . . 6 (∃!zψ∃*zψ)
21imim2i 12 . . . . 5 ((φ∃!zψ) → (φ∃*zψ))
3 moanimv 1972 . . . . 5 (∃*z(φ ψ) ↔ (φ∃*zψ))
42, 3sylibr 137 . . . 4 ((φ∃!zψ) → ∃*z(φ ψ))
542alimi 1342 . . 3 (xy(φ∃!zψ) → xy∃*z(φ ψ))
6 funoprabg 5542 . . 3 (xy∃*z(φ ψ) → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)})
75, 6syl 14 . 2 (xy(φ∃!zψ) → Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)})
8 dmoprab 5527 . . 3 dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ z(φ ψ)}
9 nfa1 1431 . . . 4 xxy(φ∃!zψ)
10 nfa2 1468 . . . 4 yxy(φ∃!zψ)
11 simpl 102 . . . . . . . 8 ((φ ψ) → φ)
1211exlimiv 1486 . . . . . . 7 (z(φ ψ) → φ)
13 euex 1927 . . . . . . . . . 10 (∃!zψzψ)
1413imim2i 12 . . . . . . . . 9 ((φ∃!zψ) → (φzψ))
1514ancld 308 . . . . . . . 8 ((φ∃!zψ) → (φ → (φ zψ)))
16 19.42v 1783 . . . . . . . 8 (z(φ ψ) ↔ (φ zψ))
1715, 16syl6ibr 151 . . . . . . 7 ((φ∃!zψ) → (φz(φ ψ)))
1812, 17impbid2 131 . . . . . 6 ((φ∃!zψ) → (z(φ ψ) ↔ φ))
1918sps 1427 . . . . 5 (y(φ∃!zψ) → (z(φ ψ) ↔ φ))
2019sps 1427 . . . 4 (xy(φ∃!zψ) → (z(φ ψ) ↔ φ))
219, 10, 20opabbid 3813 . . 3 (xy(φ∃!zψ) → {⟨x, y⟩ ∣ z(φ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ φ})
228, 21syl5eq 2081 . 2 (xy(φ∃!zψ) → dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ φ})
23 df-fn 4848 . 2 ({⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ φ} ↔ (Fun {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)} dom {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)} = {⟨x, y⟩ ∣ φ}))
247, 22, 23sylanbrc 394 1 (xy(φ∃!zψ) → {⟨⟨x, y⟩, z⟩ ∣ (φ ψ)} Fn {⟨x, y⟩ ∣ φ})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98  wal 1240   = wceq 1242  wex 1378  ∃!weu 1897  ∃*wmo 1898  {copab 3808  dom cdm 4288  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-fun 4847  df-fn 4848  df-oprab 5459
This theorem is referenced by:  fnoprab  5546  ovg  5581
  Copyright terms: Public domain W3C validator