Theorem cnvsn 4803

Description: Converse of a singleton of an ordered pair. (Contributed by NM, 11-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
cnvsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
cnvsn.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
cnvsn	⊢ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}

Proof of Theorem cnvsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnvcnvsn 4797	. 2 ⊢ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩}
2		cnvsn.2	. . . 4 ⊢ 𝐵 ∈ V
3		cnvsn.1	. . . 4 ⊢ 𝐴 ∈ V
4	2, 3	relsnop 4444	. . 3 ⊢ Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩}
5		dfrel2 4771	. . 3 ⊢ (Rel {⟨𝐵, 𝐴⟩} ↔ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩})
6	4, 5	mpbi 133	. 2 ⊢ ◡◡{⟨𝐵, 𝐴⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}
7	1, 6	eqtr3i 2062	1 ⊢ ◡{⟨𝐴, 𝐵⟩} = {⟨𝐵, 𝐴⟩}

Syntax hints:   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  {csn 3375  ⟨cop 3378  ^◡ccnv 4344  Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353

This theorem is referenced by:  op2ndb  4804  cnvsng  4806  f1osn  5166