Theorem relsnop 4444

Description: A singleton of an ordered pair is a relation. (Contributed by NM, 17-May-1998.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Apr-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
relsn.1	⊢ 𝐴 ∈ V
relsnop.2	⊢ 𝐵 ∈ V

Assertion

Ref	Expression
relsnop	⊢ Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Proof of Theorem relsnop

Step	Hyp	Ref	Expression
1		relsn.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ V
2		relsnop.2	. . 3 ⊢ 𝐵 ∈ V
3	1, 2	opelvv 4390	. 2 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (V × V)
4		opexgOLD 3965	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ 𝐵 ∈ V) → ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V)
5	1, 2, 4	mp2an 402	. . 3 ⊢ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ V
6	5	relsn 4443	. 2 ⊢ (Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩} ↔ ⟨𝐴, 𝐵⟩ ∈ (V × V))
7	3, 6	mpbir 134	1 ⊢ Rel {⟨𝐴, 𝐵⟩}

Syntax hints:   ∈ wcel 1393  Vcvv 2557  {csn 3375  ⟨cop 3378   × cxp 4343  Rel wrel 4350

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352

This theorem is referenced by:  cnvsn  4803  fsn  5335