ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlem7 Structured version   Unicode version

Theorem tfrlem7 5843
Description: Lemma for transfinite recursion. The union of all acceptable functions is a function. (Contributed by NM, 9-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
Assertion
Ref Expression
tfrlem7  Fun recs F
Distinct variable group:   ,,, F
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem tfrlem7
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . 3  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
21tfrlem6 5842 . 2  Rel recs F
31recsfval 5841 . . . . . . . . 9 recs F  U.
43eleq2i 2077 . . . . . . . 8  <. ,  >. recs F  <. ,  >.  U.
5 eluni 3546 . . . . . . . 8  <. ,  >.  U.  <. ,  >.
64, 5bitri 173 . . . . . . 7  <. ,  >. recs F  <. ,  >.
73eleq2i 2077 . . . . . . . 8  <. ,  >. recs F  <. ,  >.  U.
8 eluni 3546 . . . . . . . 8  <. ,  >.  U.  h <. ,  >.  h  h
97, 8bitri 173 . . . . . . 7  <. ,  >. recs F  h <. , 
>.  h  h
106, 9anbi12i 433 . . . . . 6 
<. ,  >. recs F  <. ,  >. recs F  <. ,  >.  h <. ,  >.  h  h
11 eeanv 1780 . . . . . 6  h
<. ,  >.  <. ,  >.  h  h  <. ,  >.  h <. ,  >.  h  h
1210, 11bitr4i 176 . . . . 5 
<. ,  >. recs F  <. ,  >. recs F  h <. ,  >.  <. ,  >.  h  h
13 df-br 3728 . . . . . . . . 9  <. ,  >.
14 df-br 3728 . . . . . . . . 9  h  <. ,  >.  h
1513, 14anbi12i 433 . . . . . . . 8  h  <. ,  >.  <. , 
>.  h
161tfrlem5 5840 . . . . . . . . 9  h  h
1716impcom 116 . . . . . . . 8  h  h
1815, 17sylanbr 269 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  h  h
1918an4s 507 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  h  h
2019exlimivv 1749 . . . . 5  h
<. ,  >.  <. ,  >.  h  h
2112, 20sylbi 114 . . . 4 
<. ,  >. recs F  <. ,  >. recs F
2221ax-gen 1311 . . 3  <. ,  >. recs F  <. , 
>. recs F
2322gen2 1312 . 2  <. ,  >. recs F  <. , 
>. recs F
24 dffun4 4828 . 2  Fun recs F  Rel recs F  <. ,  >. recs F  <. , 
>. recs F
252, 23, 24mpbir2an 831 1  Fun recs F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1221   wceq 1223  wex 1354   wcel 1366   {cab 1999  wral 2275  wrex 2276   <.cop 3342   U.cuni 3543   class class class wbr 3727   Oncon0 4038    |` cres 4262   Rel wrel 4265   Fun wfun 4811    Fn wfn 4812   ` cfv 4817  recscrecs 5829
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 614  ax-5 1309  ax-7 1310  ax-gen 1311  ax-ie1 1355  ax-ie2 1356  ax-8 1368  ax-10 1369  ax-11 1370  ax-i12 1371  ax-bnd 1372  ax-4 1373  ax-14 1378  ax-17 1392  ax-i9 1396  ax-ial 1400  ax-i5r 1401  ax-ext 1995  ax-sep 3838  ax-pow 3890  ax-pr 3907  ax-setind 4192
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 869  df-tru 1226  df-nf 1323  df-sb 1619  df-eu 1876  df-mo 1877  df-clab 2000  df-cleq 2006  df-clel 2009  df-nfc 2140  df-ral 2280  df-rex 2281  df-rab 2284  df-v 2528  df-sbc 2733  df-csb 2821  df-un 2890  df-in 2892  df-ss 2899  df-pw 3325  df-sn 3345  df-pr 3346  df-op 3348  df-uni 3544  df-iun 3622  df-br 3728  df-opab 3782  df-mpt 3783  df-tr 3818  df-id 3993  df-iord 4041  df-on 4043  df-xp 4266  df-rel 4267  df-cnv 4268  df-co 4269  df-dm 4270  df-res 4272  df-iota 4782  df-fun 4819  df-fn 4820  df-fv 4825  df-recs 5830
This theorem is referenced by:  tfrlem9  5845  tfrlemibfn  5851  tfrlemiubacc  5853  tfri1d  5859  tfri1  5861  rdgfun  5869
  Copyright terms: Public domain W3C validator