ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlem7 Structured version   Unicode version

Theorem tfrlem7 5874
Description: Lemma for transfinite recursion. The union of all acceptable functions is a function. (Contributed by NM, 9-Aug-1994.) (Revised by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypothesis
Ref Expression
tfrlem.1  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
Assertion
Ref Expression
tfrlem7  Fun recs F
Distinct variable group:   ,,, F
Allowed substitution hints:   (,,)

Proof of Theorem tfrlem7
Dummy variables  h are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 tfrlem.1 . . 3  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
21tfrlem6 5873 . 2  Rel recs F
31recsfval 5872 . . . . . . . . 9 recs F  U.
43eleq2i 2101 . . . . . . . 8  <. ,  >. recs F  <. ,  >.  U.
5 eluni 3574 . . . . . . . 8  <. ,  >.  U.  <. ,  >.
64, 5bitri 173 . . . . . . 7  <. ,  >. recs F  <. ,  >.
73eleq2i 2101 . . . . . . . 8  <. ,  >. recs F  <. ,  >.  U.
8 eluni 3574 . . . . . . . 8  <. ,  >.  U.  h <. ,  >.  h  h
97, 8bitri 173 . . . . . . 7  <. ,  >. recs F  h <. , 
>.  h  h
106, 9anbi12i 433 . . . . . 6 
<. ,  >. recs F  <. ,  >. recs F  <. ,  >.  h <. ,  >.  h  h
11 eeanv 1804 . . . . . 6  h
<. ,  >.  <. ,  >.  h  h  <. ,  >.  h <. ,  >.  h  h
1210, 11bitr4i 176 . . . . 5 
<. ,  >. recs F  <. ,  >. recs F  h <. ,  >.  <. ,  >.  h  h
13 df-br 3756 . . . . . . . . 9  <. ,  >.
14 df-br 3756 . . . . . . . . 9  h  <. ,  >.  h
1513, 14anbi12i 433 . . . . . . . 8  h  <. ,  >.  <. , 
>.  h
161tfrlem5 5871 . . . . . . . . 9  h  h
1716impcom 116 . . . . . . . 8  h  h
1815, 17sylanbr 269 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  h  h
1918an4s 522 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  h  h
2019exlimivv 1773 . . . . 5  h
<. ,  >.  <. ,  >.  h  h
2112, 20sylbi 114 . . . 4 
<. ,  >. recs F  <. ,  >. recs F
2221ax-gen 1335 . . 3  <. ,  >. recs F  <. , 
>. recs F
2322gen2 1336 . 2  <. ,  >. recs F  <. , 
>. recs F
24 dffun4 4856 . 2  Fun recs F  Rel recs F  <. ,  >. recs F  <. , 
>. recs F
252, 23, 24mpbir2an 848 1  Fun recs F
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   <.cop 3370   U.cuni 3571   class class class wbr 3755   Oncon0 4066    |` cres 4290   Rel wrel 4293   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  recscrecs 5860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853  df-recs 5861
This theorem is referenced by:  tfrlem9  5876  tfrlemibfn  5883  tfrlemiubacc  5885  tfri1d  5890  rdgfun  5900
  Copyright terms: Public domain W3C validator