ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlemiubacc Unicode version

Theorem tfrlemiubacc 5885
Description: The union of satisfies the recursion rule (lemma for tfrlemi1 5887). (Contributed by Jim Kingdon, 22-Apr-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
tfrlemisucfn.2  Fun 
F  F `  _V
tfrlemi1.3  { h  |  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. } }
tfrlemi1.4  On
tfrlemi1.5  Fn  `  F `  |`
Assertion
Ref Expression
tfrlemiubacc  U. `  F `  U.  |`
Distinct variable groups:   ,, h,,,,,,   , F,, h,,,,,   ,,   ,,,,, h,   ,, h,
Allowed substitution hints:   (,,)   (,)

Proof of Theorem tfrlemiubacc
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.1 . . . . . . . . 9  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
2 tfrlemisucfn.2 . . . . . . . . 9  Fun 
F  F `  _V
3 tfrlemi1.3 . . . . . . . . 9  { h  |  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. } }
4 tfrlemi1.4 . . . . . . . . 9  On
5 tfrlemi1.5 . . . . . . . . 9  Fn  `  F `  |`
61, 2, 3, 4, 5tfrlemibfn 5883 . . . . . . . 8  U.  Fn
7 fndm 4941 . . . . . . . 8  U.  Fn  dom  U.
86, 7syl 14 . . . . . . 7  dom  U.
91, 2, 3, 4, 5tfrlemibacc 5881 . . . . . . . . . 10  C_
109unissd 3595 . . . . . . . . 9  U.  C_  U.
111recsfval 5872 . . . . . . . . 9 recs F  U.
1210, 11syl6sseqr 2986 . . . . . . . 8  U.  C_ recs F
13 dmss 4477 . . . . . . . 8  U.  C_ recs F  dom  U.  C_  dom recs F
1412, 13syl 14 . . . . . . 7  dom  U.  C_  dom recs F
158, 14eqsstr3d 2974 . . . . . 6  C_  dom recs F
1615sselda 2939 . . . . 5  dom recs F
171tfrlem9 5876 . . . . 5  dom recs F recs F `  F ` recs F  |`
1816, 17syl 14 . . . 4 recs F `  F ` recs F  |`
191tfrlem7 5874 . . . . . 6  Fun recs F
2019a1i 9 . . . . 5  Fun recs F
2112adantr 261 . . . . 5  U.  C_ recs F
228eleq2d 2104 . . . . . 6  dom  U.
2322biimpar 281 . . . . 5  dom  U.
24 funssfv 5142 . . . . 5  Fun recs F  U.  C_ recs F 
dom  U. recs F `  U. `
2520, 21, 23, 24syl3anc 1134 . . . 4 recs F `  U. `
26 eloni 4078 . . . . . . . . 9  On  Ord
274, 26syl 14 . . . . . . . 8  Ord
28 ordelss 4082 . . . . . . . 8  Ord  C_
2927, 28sylan 267 . . . . . . 7  C_
308adantr 261 . . . . . . 7  dom  U.
3129, 30sseqtr4d 2976 . . . . . 6  C_  dom  U.
32 fun2ssres 4886 . . . . . 6  Fun recs F  U.  C_ recs F  C_  dom  U. recs F  |`  U.  |`
3320, 21, 31, 32syl3anc 1134 . . . . 5 recs F  |`  U.  |`
3433fveq2d 5125 . . . 4  F ` recs F  |`  F `  U.  |`
3518, 25, 343eqtr3d 2077 . . 3  U. `  F `  U.  |`
3635ralrimiva 2386 . 2  U. `  F `  U.  |`
37 fveq2 5121 . . . 4  U. `  U. `
38 reseq2 4550 . . . . 5  U.  |`  U.  |`
3938fveq2d 5125 . . . 4  F `  U.  |`  F `  U.  |`
4037, 39eqeq12d 2051 . . 3  U. `  F `  U.  |`  U. `  F `  U.  |`
4140cbvralv 2527 . 2  U. `  F `  U.  |`  U. `  F `  U.  |`
4236, 41sylibr 137 1  U. `  F `  U.  |`
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   w3a 884  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   Ord word 4065   Oncon0 4066   dom cdm 4288    |` cres 4290   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   ` cfv 4845  recscrecs 5860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-recs 5861
This theorem is referenced by:  tfrlemiex  5886
  Copyright terms: Public domain W3C validator