ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  tfrlemibfn Structured version   Unicode version

Theorem tfrlemibfn 5883
Description: The union of is a function defined on . Lemma for tfrlemi1 5887. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)
Hypotheses
Ref Expression
tfrlemisucfn.1  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
tfrlemisucfn.2  Fun 
F  F `  _V
tfrlemi1.3  { h  |  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. } }
tfrlemi1.4  On
tfrlemi1.5  Fn  `  F `  |`
Assertion
Ref Expression
tfrlemibfn  U.  Fn
Distinct variable groups:   ,, h,,,,,   , F,, h,,,,   ,,   ,,,, h,   ,, h,
Allowed substitution hints:   (,)   (,)

Proof of Theorem tfrlemibfn
StepHypRef Expression
1 tfrlemisucfn.1 . . . . . 6  {  |  On  Fn  `  F `  |`  }
2 tfrlemisucfn.2 . . . . . 6  Fun 
F  F `  _V
3 tfrlemi1.3 . . . . . 6  { h  |  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. } }
4 tfrlemi1.4 . . . . . 6  On
5 tfrlemi1.5 . . . . . 6  Fn  `  F `  |`
61, 2, 3, 4, 5tfrlemibacc 5881 . . . . 5  C_
76unissd 3595 . . . 4  U.  C_  U.
81recsfval 5872 . . . 4 recs F  U.
97, 8syl6sseqr 2986 . . 3  U.  C_ recs F
101tfrlem7 5874 . . 3  Fun recs F
11 funss 4863 . . 3  U.  C_ recs F  Fun recs F  Fun  U.
129, 10, 11mpisyl 1332 . 2  Fun  U.
13 simpr3 911 . . . . . . . . . . . 12  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. } 
h  u.  { <. ,  F `  >. }
142ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  Fun  F  F `  _V
154ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  On
16 simplr 482 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }
17 onelon 4087 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  On  On
1815, 16, 17syl2anc 391 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  On
19 simpr1 909 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  Fn
20 simpr2 910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }
211, 14, 18, 19, 20tfrlemisucfn 5879 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  u.  { <. ,  F `  >. }  Fn 
suc
22 dffn2 4990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  u.  { <. ,  F `  >. }  Fn 
suc  u.  { <. ,  F `  >. } : suc  --> _V
2321, 22sylib 127 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  u.  { <. ,  F `  >. } : suc  --> _V
24 fssxp 5001 . . . . . . . . . . . . . . 15  u.  { <. ,  F `  >. } : suc  --> _V  u.  { <. ,  F `  >. }  C_  suc  X.  _V
2523, 24syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  u.  { <. ,  F `  >. }  C_  suc  X.  _V
26 eloni 4078 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  On  Ord
2715, 26syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. } 
Ord
28 ordsucss 4196 . . . . . . . . . . . . . . . 16  Ord  suc  C_
2927, 16, 28sylc 56 . . . . . . . . . . . . . . 15  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. } 
suc  C_
30 xpss1 4391 . . . . . . . . . . . . . . 15  suc  C_  suc  X.  _V  C_  X.  _V
3129, 30syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  suc  X.  _V  C_  X.  _V
3225, 31sstrd 2949 . . . . . . . . . . . . 13  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  u.  { <. ,  F `  >. }  C_  X.  _V
33 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . 16 
_V
34 vex 2554 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 
_V
352tfrlem3-2d 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  Fun  F  F `  _V
3635simprd 107 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  F `  _V
37 opexg 3955 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  _V  F `  _V  <. ,  F `
 >. 
_V
3834, 36, 37sylancr 393 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  F ` 
>.  _V
39 snexg 3927 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  <. ,  F `  >.  _V  { <. ,  F ` 
>. }  _V
4038, 39syl 14 . . . . . . . . . . . . . . . 16  { <. ,  F ` 
>. }  _V
41 unexg 4144 . . . . . . . . . . . . . . . 16  _V  {
<. ,  F `
 >. }  _V  u.  { <. ,  F `  >. } 
_V
4233, 40, 41sylancr 393 . . . . . . . . . . . . . . 15  u.  { <. ,  F `
 >. }  _V
43 elpwg 3359 . . . . . . . . . . . . . . 15  u.  { <. ,  F `  >. } 
_V  u.  { <. ,  F `  >. } 
~P  X.  _V  u.  { <. ,  F ` 
>. }  C_  X.  _V
4442, 43syl 14 . . . . . . . . . . . . . 14  u. 
{ <. ,  F ` 
>. }  ~P  X.  _V  u.  { <. ,  F `  >. }  C_  X.  _V
4544ad2antrr 457 . . . . . . . . . . . . 13  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  u.  { <. ,  F `
 >. }  ~P  X.  _V  u.  { <. ,  F `  >. }  C_  X.  _V
4632, 45mpbird 156 . . . . . . . . . . . 12  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  u.  { <. ,  F `  >. } 
~P  X.  _V
4713, 46eqeltrd 2111 . . . . . . . . . . 11  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. } 
h  ~P  X.  _V
4847ex 108 . . . . . . . . . 10  Fn  h  u.  { <. ,  F `
 >. }  h  ~P  X.  _V
4948exlimdv 1697 . . . . . . . . 9  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. }  h  ~P  X.  _V
5049rexlimdva 2427 . . . . . . . 8  Fn  h  u.  { <. ,  F ` 
>. } 
h  ~P  X.  _V
5150abssdv 3008 . . . . . . 7  { h  |  Fn  h  u.  { <. ,  F `  >. } }  C_  ~P  X.  _V
523, 51syl5eqss 2983 . . . . . 6  C_  ~P  X.  _V
53 sspwuni 3730 . . . . . 6 
C_  ~P  X.  _V  U.  C_  X.  _V
5452, 53sylib 127 . . . . 5  U.  C_  X.  _V
55 dmss 4477 . . . . 5  U.  C_  X.  _V  dom  U.  C_  dom  X.  _V
5654, 55syl 14 . . . 4  dom  U.  C_  dom  X.  _V
57 dmxpss 4696 . . . 4  dom  X.  _V  C_
5856, 57syl6ss 2951 . . 3  dom  U.  C_
591, 2, 3, 4, 5tfrlemibxssdm 5882 . . 3  C_  dom  U.
6058, 59eqssd 2956 . 2  dom  U.
61 df-fn 4848 . 2  U.  Fn  Fun  U.  dom  U.
6212, 60, 61sylanbrc 394 1  U.  Fn
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884  wal 1240   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023  wral 2300  wrex 2301   _Vcvv 2551    u. cun 2909    C_ wss 2911   ~Pcpw 3351   {csn 3367   <.cop 3370   U.cuni 3571   Ord word 4065   Oncon0 4066   suc csuc 4068    X. cxp 4286   dom cdm 4288    |` cres 4290   Fun wfun 4839    Fn wfn 4840   -->wf 4841   ` cfv 4845  recscrecs 5860
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-tr 3846  df-id 4021  df-iord 4069  df-on 4071  df-suc 4074  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-recs 5861
This theorem is referenced by:  tfrlemibex  5884  tfrlemiubacc  5885  tfrlemiex  5886
  Copyright terms: Public domain W3C validator