Theorem tfrlemibfn 5942

Description: The union of B is a function defined on x. Lemma for tfrlemi1 5946. (Contributed by Jim Kingdon, 18-Mar-2019.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 24-May-2019.)

Hypotheses

Ref	Expression
tfrlemisucfn.1	|- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
tfrlemisucfn.2	|- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
tfrlemi1.3	|- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
tfrlemi1.4	|- ( ph -> x e. On )
tfrlemi1.5	|- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )

Assertion

Ref	Expression
tfrlemibfn	|- ( ph -> U. B Fn x )

Distinct variable groups:   f, g, h, w, x, y, z, A   f, F, g, h, w, x, y, z   ph, w, y   w, B, f, g, h, z   ph, g, h, z

Allowed substitution hints:   ph( x, f)   B( x, y)

Proof of Theorem tfrlemibfn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		tfrlemisucfn.1	. . . . . 6 |- A = { f | E. x e. On ( f Fn x /\ A. y e. x ( f ` y ) = ( F ` ( f |` y ) ) ) }
2		tfrlemisucfn.2	. . . . . 6 |- ( ph -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
3		tfrlemi1.3	. . . . . 6 |- B = { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) }
4		tfrlemi1.4	. . . . . 6 |- ( ph -> x e. On )
5		tfrlemi1.5	. . . . . 6 |- ( ph -> A. z e. x E. g ( g Fn z /\ A. w e. z ( g ` w ) = ( F ` ( g |` w ) ) ) )
6	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibacc 5940	. . . . 5 |- ( ph -> B C_ A )
7	6	unissd 3604	. . . 4 |- ( ph -> U. B C_ U. A )
8	1	recsfval 5931	. . . 4 |- recs ( F ) = U. A
9	7, 8	syl6sseqr 2992	. . 3 |- ( ph -> U. B C_ recs ( F ) )
10	1	tfrlem7 5933	. . 3 |- Fun recs ( F )
11		funss 4920	. . 3 |- ( U. B C_ recs ( F ) -> ( Fun recs ( F ) -> Fun U. B ) )
12	9, 10, 11	mpisyl 1335	. 2 |- ( ph -> Fun U. B )
13		simpr3 912	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) )
14	2	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> A. x ( Fun F /\ ( F ` x ) e. _V ) )
15	4	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> x e. On )
16		simplr 482	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> z e. x )
17		onelon 4121	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( x e. On /\ z e. x ) -> z e. On )
18	15, 16, 17	syl2anc 391	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> z e. On )
19		simpr1 910	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> g Fn z )
20		simpr2 911	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> g e. A )
21	1, 14, 18, 19, 20	tfrlemisucfn 5938	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z )
22		dffn2 5047	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) Fn suc z <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
23	21, 22	sylib 127	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V )
24		fssxp 5058	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) : suc z --> _V -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
25	23, 24	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( suc z X. _V ) )
26		eloni 4112	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( x e. On -> Ord x )
27	15, 26	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> Ord x )
28		ordsucss 4230	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( Ord x -> ( z e. x -> suc z C_ x ) )
29	27, 16, 28	sylc 56	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> suc z C_ x )
30		xpss1 4448	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( suc z C_ x -> ( suc z X. _V ) C_ ( x X. _V ) )
31	29, 30	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( suc z X. _V ) C_ ( x X. _V ) )
32	25, 31	sstrd 2955	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) )
33		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- g e. _V
34		vex 2560	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- z e. _V
35	2	tfrlem3-2d 5928	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 |- ( ph -> ( Fun F /\ ( F ` g ) e. _V ) )
36	35	simprd 107	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ph -> ( F ` g ) e. _V )
37		opexg 3964	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 |- ( ( z e. _V /\ ( F ` g ) e. _V ) -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
38	34, 36, 37	sylancr 393	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( ph -> <. z , ( F ` g ) >. e. _V )
39		snexg 3936	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 |- ( <. z , ( F ` g ) >. e. _V -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
40	38, 39	syl 14	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ph -> { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V )
41		unexg 4178	. . . . . . . . . . . . . . . 16 |- ( ( g e. _V /\ { <. z , ( F ` g ) >. } e. _V ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
42	33, 40, 41	sylancr 393	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ph -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V )
43		elpwg 3367	. . . . . . . . . . . . . . 15 |- ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. _V -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
44	42, 43	syl 14	. . . . . . . . . . . . . 14 |- ( ph -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
45	44	ad2antrr 457	. . . . . . . . . . . . 13 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) <-> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) C_ ( x X. _V ) ) )
46	32, 45	mpbird 156	. . . . . . . . . . . 12 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) e. ~P ( x X. _V ) )
47	13, 46	eqeltrd 2114	. . . . . . . . . . 11 |- ( ( ( ph /\ z e. x ) /\ ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) )
48	47	ex 108	. . . . . . . . . 10 |- ( ( ph /\ z e. x ) -> ( ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
49	48	exlimdv 1700	. . . . . . . . 9 |- ( ( ph /\ z e. x ) -> ( E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
50	49	rexlimdva 2433	. . . . . . . 8 |- ( ph -> ( E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) -> h e. ~P ( x X. _V ) ) )
51	50	abssdv 3014	. . . . . . 7 |- ( ph -> { h | E. z e. x E. g ( g Fn z /\ g e. A /\ h = ( g u. { <. z , ( F ` g ) >. } ) ) } C_ ~P ( x X. _V ) )
52	3, 51	syl5eqss 2989	. . . . . 6 |- ( ph -> B C_ ~P ( x X. _V ) )
53		sspwuni 3739	. . . . . 6 |- ( B C_ ~P ( x X. _V ) <-> U. B C_ ( x X. _V ) )
54	52, 53	sylib 127	. . . . 5 |- ( ph -> U. B C_ ( x X. _V ) )
55		dmss 4534	. . . . 5 |- ( U. B C_ ( x X. _V ) -> dom U. B C_ dom ( x X. _V ) )
56	54, 55	syl 14	. . . 4 |- ( ph -> dom U. B C_ dom ( x X. _V ) )
57		dmxpss 4753	. . . 4 |- dom ( x X. _V ) C_ x
58	56, 57	syl6ss 2957	. . 3 |- ( ph -> dom U. B C_ x )
59	1, 2, 3, 4, 5	tfrlemibxssdm 5941	. . 3 |- ( ph -> x C_ dom U. B )
60	58, 59	eqssd 2962	. 2 |- ( ph -> dom U. B = x )
61		df-fn 4905	. 2 |- ( U. B Fn x <-> ( Fun U. B /\ dom U. B = x ) )
62	12, 60, 61	sylanbrc 394	1 |- ( ph -> U. B Fn x )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   /\ w3a 885   A.wal 1241   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   A.wral 2306   E.wrex 2307   _Vcvv 2557   u. cun 2915   C_ wss 2917   ~Pcpw 3359   {csn 3375   <.cop 3378   U.cuni 3580   Ord word 4099   Oncon0 4100   suc csuc 4102   X. cxp 4343   dom cdm 4345   |` cres 4347   Fun wfun 4896   Fn wfn 4897   -->wf 4898   ` cfv 4902  recscrecs 5919

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-recs 5920

This theorem is referenced by:  tfrlemibex  5943  tfrlemiubacc  5944  tfrlemiex  5945