Theorem ioof 8840

Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
ioof	|- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Proof of Theorem ioof

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		iooval 8777	. . . 4 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> ( x (,) y ) = { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
2		ioossre 8804	. . . . 5 |- ( x (,) y ) C_ RR
3		df-ov 5515	. . . . . . 7 |- ( x (,) y ) = ( (,) ` <. x , y >. )
4		iooex 8776	. . . . . . . 8 |- (,) e. _V
5		vex 2560	. . . . . . . . 9 |- x e. _V
6		vex 2560	. . . . . . . . 9 |- y e. _V
7	5, 6	opex 3966	. . . . . . . 8 |- <. x , y >. e. _V
8	4, 7	fvex 5195	. . . . . . 7 |- ( (,) ` <. x , y >. ) e. _V
9	3, 8	eqeltri 2110	. . . . . 6 |- ( x (,) y ) e. _V
10	9	elpw 3365	. . . . 5 |- ( ( x (,) y ) e. ~P RR <-> ( x (,) y ) C_ RR )
11	2, 10	mpbir 134	. . . 4 |- ( x (,) y ) e. ~P RR
12	1, 11	syl6eqelr 2129	. . 3 |- ( ( x e. RR* /\ y e. RR* ) -> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR )
13	12	rgen2a 2375	. 2 |- A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR
14		df-ioo 8761	. . 3 |- (,) = ( x e. RR* , y e. RR* |-> { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } )
15	14	fmpt2 5827	. 2 |- ( A. x e. RR* A. y e. RR* { z e. RR* | ( x < z /\ z < y ) } e. ~P RR <-> (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR )
16	13, 15	mpbi 133	1 |- (,) : ( RR* X. RR* ) --> ~P RR

Syntax hints:   /\ wa 97   e. wcel 1393   A.wral 2306   {crab 2310   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   ~Pcpw 3359   <.cop 3378   class class class wbr 3764   X. cxp 4343   -->wf 4898   ` cfv 4902  (class class class)co 5512   RRcr 6888   RR*cxr 7059   < clt 7060   (,)cioo 8757

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-cnex 6975  ax-resscn 6976  ax-pre-ltirr 6996  ax-pre-ltwlin 6997  ax-pre-lttrn 6998

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-nel 2207  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-id 4030  df-po 4033  df-iso 4034  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-pnf 7062  df-mnf 7063  df-xr 7064  df-ltxr 7065  df-le 7066  df-ioo 8761

This theorem is referenced by:  unirnioo  8842  dfioo2  8843  ioorebasg  8844