ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioof Unicode version

Theorem ioof 8610
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof  (,) : RR*  X.  RR* --> ~P RR

Proof of Theorem ioof
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 8547 . . . 4  RR*  RR*  (,)  {  RR*  |  <  <  }
2 ioossre 8574 . . . . 5  (,)  C_  RR
3 df-ov 5458 . . . . . . 7  (,)  (,) `  <. ,  >.
4 iooex 8546 . . . . . . . 8  (,)  _V
5 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
6 vex 2554 . . . . . . . . 9 
_V
75, 6opex 3957 . . . . . . . 8  <. ,  >.  _V
84, 7fvex 5138 . . . . . . 7  (,) `  <. , 
>.  _V
93, 8eqeltri 2107 . . . . . 6  (,) 
_V
109elpw 3357 . . . . 5  (,)  ~P RR  (,)  C_  RR
112, 10mpbir 134 . . . 4  (,) 
~P RR
121, 11syl6eqelr 2126 . . 3  RR*  RR*  {  RR*  |  <  <  }  ~P RR
1312rgen2a 2369 . 2  RR* 
RR*  {  RR*  |  <  <  }  ~P RR
14 df-ioo 8531 . . 3  (,)  RR* ,  RR*  |->  {  RR*  |  <  <  }
1514fmpt2 5769 . 2  RR*  RR*  { 
RR*  |  <  <  }  ~P RR  (,) : RR*  X. 
RR* --> ~P RR
1613, 15mpbi 133 1  (,) : RR*  X.  RR* --> ~P RR
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wcel 1390  wral 2300   {crab 2304   _Vcvv 2551    C_ wss 2911   ~Pcpw 3351   <.cop 3370   class class class wbr 3755    X. cxp 4286   -->wf 4841   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   RRcr 6710   RR*cxr 6856    < clt 6857   (,)cioo 8527
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-pre-ltirr 6795  ax-pre-ltwlin 6796  ax-pre-lttrn 6797
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-pnf 6859  df-mnf 6860  df-xr 6861  df-ltxr 6862  df-le 6863  df-ioo 8531
This theorem is referenced by:  unirnioo  8612  dfioo2  8613  ioorebasg  8614
  Copyright terms: Public domain W3C validator