ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  ioof Structured version   GIF version

Theorem ioof 8570
Description: The set of open intervals of extended reals maps to subsets of reals. (Contributed by NM, 7-Feb-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
ioof (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ

Proof of Theorem ioof
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iooval 8507 . . . 4 ((x * y *) → (x(,)y) = {z * ∣ (x < z z < y)})
2 ioossre 8534 . . . . 5 (x(,)y) ⊆ ℝ
3 df-ov 5458 . . . . . . 7 (x(,)y) = ((,)‘⟨x, y⟩)
4 iooex 8506 . . . . . . . 8 (,) V
5 vex 2554 . . . . . . . . 9 x V
6 vex 2554 . . . . . . . . 9 y V
75, 6opex 3957 . . . . . . . 8 x, y V
84, 7fvex 5138 . . . . . . 7 ((,)‘⟨x, y⟩) V
93, 8eqeltri 2107 . . . . . 6 (x(,)y) V
109elpw 3357 . . . . 5 ((x(,)y) 𝒫 ℝ ↔ (x(,)y) ⊆ ℝ)
112, 10mpbir 134 . . . 4 (x(,)y) 𝒫 ℝ
121, 11syl6eqelr 2126 . . 3 ((x * y *) → {z * ∣ (x < z z < y)} 𝒫 ℝ)
1312rgen2a 2369 . 2 x * y * {z * ∣ (x < z z < y)} 𝒫 ℝ
14 df-ioo 8491 . . 3 (,) = (x *, y * ↦ {z * ∣ (x < z z < y)})
1514fmpt2 5769 . 2 (x * y * {z * ∣ (x < z z < y)} 𝒫 ℝ ↔ (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ)
1613, 15mpbi 133 1 (,):(ℝ* × ℝ*)⟶𝒫 ℝ
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   wcel 1390  wral 2300  {crab 2304  Vcvv 2551  wss 2911  𝒫 cpw 3351  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  wf 4841  cfv 4845  (class class class)co 5455  cr 6670  *cxr 6816   < clt 6817  (,)cioo 8487
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-setind 4220  ax-cnex 6734  ax-resscn 6735  ax-pre-ltirr 6755  ax-pre-ltwlin 6756  ax-pre-lttrn 6757
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3or 885  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-nel 2204  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-iun 3650  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-po 4024  df-iso 4025  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459  df-mpt2 5460  df-1st 5709  df-2nd 5710  df-pnf 6819  df-mnf 6820  df-xr 6821  df-ltxr 6822  df-le 6823  df-ioo 8491
This theorem is referenced by:  unirnioo  8572  dfioo2  8573  ioorebasg  8574
  Copyright terms: Public domain W3C validator