Theorem enq0breq 6534

Description: Equivalence relation for non-negative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)

Assertion

Ref	Expression
enq0breq	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem enq0breq

Dummy variables x y z w v u are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		oveq12 5521	. . . . . 6 |- ( ( z = A /\ u = D ) -> ( z .o u ) = ( A .o D ) )
2		oveq12 5521	. . . . . 6 |- ( ( w = B /\ v = C ) -> ( w .o v ) = ( B .o C ) )
3	1, 2	eqeqan12d 2055	. . . . 5 |- ( ( ( z = A /\ u = D ) /\ ( w = B /\ v = C ) ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
4	3	an42s 523	. . . 4 |- ( ( ( z = A /\ w = B ) /\ ( v = C /\ u = D ) ) -> ( ( z .o u ) = ( w .o v ) <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
5	4	copsex4g 3984	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
6	5	anbi2d 437	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ ( A .o D ) = ( B .o C ) ) ) )
7		opexg 3964	. . 3 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. _V )
8		opexg 3964	. . 3 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. _V )
9		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( x = <. A , B >. -> ( x e. ( om X. N. ) <-> <. A , B >. e. ( om X. N. ) ) )
10	9	anbi1d 438	. . . . 5 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) ) )
11		eqeq1 2046	. . . . . . . 8 |- ( x = <. A , B >. -> ( x = <. z , w >. <-> <. A , B >. = <. z , w >. ) )
12	11	anbi1d 438	. . . . . . 7 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) ) )
13	12	anbi1d 438	. . . . . 6 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
14	13	4exbidv 1750	. . . . 5 |- ( x = <. A , B >. -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
15	10, 14	anbi12d 442	. . . 4 |- ( x = <. A , B >. -> ( ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
16		eleq1 2100	. . . . . 6 |- ( y = <. C , D >. -> ( y e. ( om X. N. ) <-> <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) )
17	16	anbi2d 437	. . . . 5 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) <-> ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) ) )
18		eqeq1 2046	. . . . . . . 8 |- ( y = <. C , D >. -> ( y = <. v , u >. <-> <. C , D >. = <. v , u >. ) )
19	18	anbi2d 437	. . . . . . 7 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) <-> ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) ) )
20	19	anbi1d 438	. . . . . 6 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
21	20	4exbidv 1750	. . . . 5 |- ( y = <. C , D >. -> ( E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) <-> E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) )
22	17, 21	anbi12d 442	. . . 4 |- ( y = <. C , D >. -> ( ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
23		df-enq0 6522	. . . 4 |- ~Q0 = { <. x , y >. | ( ( x e. ( om X. N. ) /\ y e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( x = <. z , w >. /\ y = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) }
24	15, 22, 23	brabg 4006	. . 3 |- ( ( <. A , B >. e. _V /\ <. C , D >. e. _V ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
25	7, 8, 24	syl2an 273	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ E. z E. w E. v E. u ( ( <. A , B >. = <. z , w >. /\ <. C , D >. = <. v , u >. ) /\ ( z .o u ) = ( w .o v ) ) ) ) )
26		opelxpi 4376	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
27		opelxpi 4376	. . . 4 |- ( ( C e. om /\ D e. N. ) -> <. C , D >. e. ( om X. N. ) )
28	26, 27	anim12i 321	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) )
29	28	biantrurd 289	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( ( A .o D ) = ( B .o C ) <-> ( ( <. A , B >. e. ( om X. N. ) /\ <. C , D >. e. ( om X. N. ) ) /\ ( A .o D ) = ( B .o C ) ) ) )
30	6, 25, 29	3bitr4d 209	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   .o comu 5999   N.cnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515  df-enq0 6522

This theorem is referenced by:  enq0eceq  6535  nqnq0pi  6536  addcmpblnq0  6541  mulcmpblnq0  6542  mulcanenq0ec  6543  nnnq0lem1  6544