ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  enq0breq Unicode version

Theorem enq0breq 6419
Description: Equivalence relation for non-negative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by NM, 27-Aug-1995.)
Assertion
Ref Expression
enq0breq  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >.  .o  D  .o  C

Proof of Theorem enq0breq
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 oveq12 5464 . . . . . 6  D  .o  .o  D
2 oveq12 5464 . . . . . 6  C  .o  .o  C
31, 2eqeqan12d 2052 . . . . 5  D  C  .o  .o  .o  D  .o  C
43an42s 523 . . . 4  C  D  .o  .o  .o  D  .o  C
54copsex4g 3975 . . 3  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  .o  .o  .o  D  .o  C
65anbi2d 437 . 2  om  N.  C  om  D  N. 
<. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.  .o  D  .o  C
7 opexg 3955 . . 3  om  N.  <. ,  >.  _V
8 opexg 3955 . . 3  C  om  D  N.  <. C ,  D >.  _V
9 eleq1 2097 . . . . . 6  <. ,  >.  om  X.  N. 
<. ,  >.  om  X.  N.
109anbi1d 438 . . . . 5  <. ,  >.  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  om  X.  N.  om  X.  N.
11 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >. 
<. ,  >.
1211anbi1d 438 . . . . . . 7  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.
1312anbi1d 438 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
14134exbidv 1747 . . . . 5  <. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
1510, 14anbi12d 442 . . . 4  <. ,  >.  om  X.  N.  om  X.  N. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o 
<. ,  >.  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o
16 eleq1 2097 . . . . . 6  <. C ,  D >.  om  X.  N. 
<. C ,  D >.  om  X.  N.
1716anbi2d 437 . . . . 5  <. C ,  D >.  <. ,  >.  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.
18 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  <. C ,  D >. 
<. ,  >.  <. C ,  D >. 
<. ,  >.
1918anbi2d 437 . . . . . . 7  <. C ,  D >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.
2019anbi1d 438 . . . . . 6  <. C ,  D >. 
<. ,  >. 
<. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >. 
<. ,  >. 
<. C ,  D >. 
<. ,  >.  .o  .o
21204exbidv 1747 . . . . 5  <. C ,  D >.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  .o  .o
2217, 21anbi12d 442 . . . 4  <. C ,  D >. 
<. ,  >.  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  <. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  .o  .o
23 df-enq0 6407 . . . 4 ~Q0  { <. ,  >.  |  om  X.  N.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  .o  .o  }
2415, 22, 23brabg 3997 . . 3 
<. ,  >. 
_V  <. C ,  D >.  _V  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >. 
<. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.  <. ,  >.  <. ,  >.  <. C ,  D >.  <. ,  >.  .o  .o
257, 8, 24syl2an 273 . 2  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >.  <. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N. 
<. ,  >. 
<. ,  >. 
<. C ,  D >. 
<. ,  >.  .o  .o
26 opelxpi 4319 . . . 4  om  N.  <. ,  >.  om  X.  N.
27 opelxpi 4319 . . . 4  C  om  D  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.
2826, 27anim12i 321 . . 3  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.
2928biantrurd 289 . 2  om  N.  C  om  D  N.  .o  D  .o  C  <. ,  >.  om  X.  N.  <. C ,  D >.  om  X.  N.  .o  D  .o  C
306, 25, 293bitr4d 209 1  om  N.  C  om  D  N.  <. ,  >. ~Q0  <. C ,  D >.  .o  D  .o  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   omcom 4256    X. cxp 4286  (class class class)co 5455    .o comu 5938   N.cnpi 6256   ~Q0 ceq0 6270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-enq0 6407
This theorem is referenced by:  enq0eceq  6420  nqnq0pi  6421  addcmpblnq0  6426  mulcmpblnq0  6427  mulcanenq0ec  6428  nnnq0lem1  6429
  Copyright terms: Public domain W3C validator