Theorem nnnq0lem1 6544

Description: Decomposing non-negative fractions into natural numbers. Lemma for addnnnq0 6547 and mulnnnq0 6548. (Contributed by Jim Kingdon, 23-Nov-2019.)

Assertion

Ref

Expression

nnnq0lem1

|- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Distinct variable groups:   z, w, v, u, t, s, q, f, g, h, A   z, B, w, v, u, t, s, q, f, g, h

Allowed substitution hints:   C( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)   D( z, w, v, u, t, f, g, h, s, q)

Proof of Theorem nnnq0lem1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 6533	. . . . . 6 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2		erdm 6116	. . . . . 6 |- ( ~Q0 Er ( om X. N. ) -> dom ~Q0 = ( om X. N. ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. . . . 5 |- dom ~Q0 = ( om X. N. )
4		simpll 481	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
5		simplll 485	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. w , v >. ] ~Q0 )
6	5	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
7	6	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
8	4, 7	mpbid 135	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
9		ecelqsdm 6176	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. w , v >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
10	3, 8, 9	sylancr 393	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. e. ( om X. N. ) )
11		opelxp 4374	. . . 4 |- ( <. w , v >. e. ( om X. N. ) <-> ( w e. om /\ v e. N. ) )
12	10, 11	sylib 127	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w e. om /\ v e. N. ) )
13		simprll 489	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> A = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
14	13	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
15	14	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
16	4, 15	mpbid 135	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
17		ecelqsdm 6176	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. s , f >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
18	3, 16, 17	sylancr 393	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. s , f >. e. ( om X. N. ) )
19		opelxp 4374	. . . 4 |- ( <. s , f >. e. ( om X. N. ) <-> ( s e. om /\ f e. N. ) )
20	18, 19	sylib 127	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( s e. om /\ f e. N. ) )
21	12, 20	jca 290	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) )
22		simplr 482	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
23		simpllr 486	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. u , t >. ] ~Q0 )
24	23	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
25	24	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
26	22, 25	mpbid 135	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
27		ecelqsdm 6176	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. u , t >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
28	3, 26, 27	sylancr 393	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. e. ( om X. N. ) )
29		opelxp 4374	. . . 4 |- ( <. u , t >. e. ( om X. N. ) <-> ( u e. om /\ t e. N. ) )
30	28, 29	sylib 127	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u e. om /\ t e. N. ) )
31		simprlr 490	. . . . . . . 8 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> B = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
32	31	eleq1d 2106	. . . . . . 7 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
33	32	adantl 262	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) <-> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) )
34	22, 33	mpbid 135	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) )
35		ecelqsdm 6176	. . . . 5 |- ( ( dom ~Q0 = ( om X. N. ) /\ [ <. g , h >. ] ~Q0 e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
36	3, 34, 35	sylancr 393	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. g , h >. e. ( om X. N. ) )
37		opelxp 4374	. . . 4 |- ( <. g , h >. e. ( om X. N. ) <-> ( g e. om /\ h e. N. ) )
38	36, 37	sylib 127	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( g e. om /\ h e. N. ) )
39	30, 38	jca 290	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) )
40	5, 13	eqtr3d 2074	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
41	40	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 )
42	1	a1i 9	. . . . . 6 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
43	42, 10	erth 6150	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> [ <. w , v >. ] ~Q0 = [ <. s , f >. ] ~Q0 ) )
44	41, 43	mpbird 156	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. )
45		enq0breq 6534	. . . . 5 |- ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
46	12, 20, 45	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. w , v >. ~Q0 <. s , f >. <-> ( w .o f ) = ( v .o s ) ) )
47	44, 46	mpbid 135	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( w .o f ) = ( v .o s ) )
48	23, 31	eqtr3d 2074	. . . . . 6 |- ( ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
49	48	adantl 262	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 )
50	42, 28	erth 6150	. . . . 5 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> [ <. u , t >. ] ~Q0 = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) )
51	49, 50	mpbird 156	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. )
52		enq0breq 6534	. . . . 5 |- ( ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
53	30, 38, 52	syl2anc 391	. . . 4 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( <. u , t >. ~Q0 <. g , h >. <-> ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
54	51, 53	mpbid 135	. . 3 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( u .o h ) = ( t .o g ) )
55	47, 54	jca 290	. 2 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) )
56	21, 39, 55	jca31 292	1 |- ( ( ( A e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) /\ B e. ( ( om X. N. ) /. ~Q0 ) ) /\ ( ( ( A = [ <. w , v >. ] ~Q0 /\ B = [ <. u , t >. ] ~Q0 ) /\ z = [ C ] ~Q0 ) /\ ( ( A = [ <. s , f >. ] ~Q0 /\ B = [ <. g , h >. ] ~Q0 ) /\ q = [ D ] ~Q0 ) ) ) -> ( ( ( ( w e. om /\ v e. N. ) /\ ( s e. om /\ f e. N. ) ) /\ ( ( u e. om /\ t e. N. ) /\ ( g e. om /\ h e. N. ) ) ) /\ ( ( w .o f ) = ( v .o s ) /\ ( u .o h ) = ( t .o g ) ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313   X. cxp 4343   dom cdm 4345  (class class class)co 5512   .o comu 5999   Er wer 6103   [cec 6104   /.cqs 6105   N.cnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-qs 6112  df-ni 6402  df-enq0 6522

This theorem is referenced by:  addnq0mo  6545  mulnq0mo  6546