Theorem enq0eceq 6535

Description: Equivalence class equality of non-negative fractions in terms of natural numbers. (Contributed by Jim Kingdon, 24-Nov-2019.)

Assertion

Ref	Expression
enq0eceq	|- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Proof of Theorem enq0eceq

Step	Hyp	Ref	Expression
1		enq0er 6533	. . . 4 |- ~Q0 Er ( om X. N. )
2	1	a1i 9	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ~Q0 Er ( om X. N. ) )
3		opelxpi 4376	. . . 4 |- ( ( A e. om /\ B e. N. ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
4	3	adantr 261	. . 3 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> <. A , B >. e. ( om X. N. ) )
5	2, 4	erth 6150	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 ) )
6		enq0breq 6534	. 2 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( <. A , B >. ~Q0 <. C , D >. <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )
7	5, 6	bitr3d 179	1 |- ( ( ( A e. om /\ B e. N. ) /\ ( C e. om /\ D e. N. ) ) -> ( [ <. A , B >. ] ~Q0 = [ <. C , D >. ] ~Q0 <-> ( A .o D ) = ( B .o C ) ) )

Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   <-> wb 98   = wceq 1243   e. wcel 1393   <.cop 3378   class class class wbr 3764   omcom 4313   X. cxp 4343  (class class class)co 5512   .o comu 5999   Er wer 6103   [cec 6104   N.cnpi 6370   ~_Q0 ceq0 6384

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-coll 3872  ax-sep 3875  ax-nul 3883  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-setind 4262  ax-iinf 4311

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-dc 743  df-3or 886  df-3an 887  df-tru 1246  df-fal 1249  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-reu 2313  df-rab 2315  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-int 3616  df-iun 3659  df-br 3765  df-opab 3819  df-mpt 3820  df-tr 3855  df-id 4030  df-iord 4103  df-on 4105  df-suc 4108  df-iom 4314  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-fo 4908  df-f1o 4909  df-fv 4910  df-ov 5515  df-oprab 5516  df-mpt2 5517  df-1st 5767  df-2nd 5768  df-recs 5920  df-irdg 5957  df-oadd 6005  df-omul 6006  df-er 6106  df-ec 6108  df-ni 6402  df-enq0 6522

This theorem is referenced by:  nq0m0r  6554