Proof of Theorem dfplpq2
Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | df-mpt2 5460 |
. 2
                 
                             
                   
                          |
2 | | df-plpq 6328 |
. 2

                
                         |
3 | | 1st2nd2 5743 |
. . . . . . . . . 10
  
     
       |
4 | 3 | eqeq1d 2045 |
. . . . . . . . 9
  

        
           |
5 | | 1st2nd2 5743 |
. . . . . . . . . 10
  
     
       |
6 | 5 | eqeq1d 2045 |
. . . . . . . . 9
  

        
           |
7 | 4, 6 | bi2anan9 538 |
. . . . . . . 8
      
 
      
              
                  |
8 | 7 | anbi1d 438 |
. . . . . . 7
      
         
    
                      
                   
          |
9 | | xp1st 5734 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
      |
10 | 9 | ad2antlr 458 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
                  |
11 | 7 | biimpa 280 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
    
                  
                         |
12 | 11 | simprd 107 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
                            |
13 | | vex 2554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
14 | | vex 2554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
15 | 13, 14 | opth2 3968 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
              
            |
16 | 15 | simplbi 259 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
              
      |
17 | 16 | eleq1d 2103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
              
        |
18 | 12, 17 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
                    |
19 | 10, 18 | mpbid 135 |
. . . . . . . . . . . 12
    
              |
20 | | xp2nd 5735 |
. . . . . . . . . . . . . 14
  
      |
21 | 20 | ad2antrr 457 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
                  |
22 | 11 | simpld 105 |
. . . . . . . . . . . . . 14
    
                            |
23 | | vex 2554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
24 | | vex 2554 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
 |
25 | 23, 24 | opth2 3968 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
              
            |
26 | 25 | simprbi 260 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
              
      |
27 | 26 | eleq1d 2103 |
. . . . . . . . . . . . . 14
              
        |
28 | 22, 27 | syl 14 |
. . . . . . . . . . . . 13
    
                    |
29 | 21, 28 | mpbid 135 |
. . . . . . . . . . . 12
    
              |
30 | | mulcompig 6315 |
. . . . . . . . . . . 12
 
  
    |
31 | 19, 29, 30 | syl2anc 391 |
. . . . . . . . . . 11
    
                  |
32 | 31 | oveq2d 5471 |
. . . . . . . . . 10
    
             
            |
33 | 32 | opeq1d 3546 |
. . . . . . . . 9
    
                      
             |
34 | 33 | eqeq2d 2048 |
. . . . . . . 8
    
            
             
           |
35 | 34 | pm5.32da 425 |
. . . . . . 7
      
         
    
                    
          |
36 | 8, 35 | bitr3d 179 |
. . . . . 6
      
        
                           
                    
          |
37 | 36 | 4exbidv 1747 |
. . . . 5
      
                
                           
                       
    
          |
38 | | xp1st 5734 |
. . . . . . 7
  
      |
39 | 38, 20 | jca 290 |
. . . . . 6
  
            |
40 | | xp2nd 5735 |
. . . . . . 7
  
      |
41 | 9, 40 | jca 290 |
. . . . . 6
  
            |
42 | | simpll 481 |
. . . . . . . . . . 11
      
         
            |
43 | | simprr 484 |
. . . . . . . . . . 11
      
         
            |
44 | 42, 43 | oveq12d 5473 |
. . . . . . . . . 10
      
         
                    |
45 | | simprl 483 |
. . . . . . . . . . 11
      
         
            |
46 | | simplr 482 |
. . . . . . . . . . 11
      
         
            |
47 | 45, 46 | oveq12d 5473 |
. . . . . . . . . 10
      
         
                    |
48 | 44, 47 | oveq12d 5473 |
. . . . . . . . 9
      
         
                      
             |
49 | 46, 43 | oveq12d 5473 |
. . . . . . . . 9
      
         
                    |
50 | 48, 49 | opeq12d 3548 |
. . . . . . . 8
      
         
        
       
           
                         |
51 | 50 | eqeq2d 2048 |
. . . . . . 7
      
         
           
                 
                          |
52 | 51 | copsex4g 3975 |
. . . . . 6
      
                                
                           
                  
                          |
53 | 39, 41, 52 | syl2an 273 |
. . . . 5
      
                
                           
                  
                          |
54 | 37, 53 | bitr3d 179 |
. . . 4
      
             
   
    
                  
                          |
55 | 54 | pm5.32i 427 |
. . 3
    
                   
    
           
  
           
                          |
56 | 55 | oprabbii 5502 |
. 2
   
  
 
 
               
   
    
              
                   
                          |
57 | 1, 2, 56 | 3eqtr4i 2067 |
1
     
                        
    
          |