Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans Unicode version

Theorem bj-nntrans 10050
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )

Proof of Theorem bj-nntrans
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 3322 . . 3  |-  A. x  e.  (/)  x  C_  (/)
2 df-suc 4108 . . . . . . 7  |-  suc  z  =  ( z  u. 
{ z } )
32eleq2i 2104 . . . . . 6  |-  ( x  e.  suc  z  <->  x  e.  ( z  u.  {
z } ) )
4 elun 3084 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( z  u. 
{ z } )  <-> 
( x  e.  z  \/  x  e.  {
z } ) )
5 sssucid 4152 . . . . . . . . . 10  |-  z  C_  suc  z
6 sstr2 2952 . . . . . . . . . 10  |-  ( x 
C_  z  ->  (
z  C_  suc  z  ->  x  C_  suc  z ) )
75, 6mpi 15 . . . . . . . . 9  |-  ( x 
C_  z  ->  x  C_ 
suc  z )
87imim2i 12 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  z  ->  x  C_  suc  z ) )
9 elsni 3393 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  =  z )
109, 5syl6eqss 2995 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  { z }  ->  x  C_  suc  z )
1110a1i 9 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  {
z }  ->  x  C_ 
suc  z ) )
128, 11jaod 637 . . . . . . 7  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( ( x  e.  z  \/  x  e. 
{ z } )  ->  x  C_  suc  z ) )
134, 12syl5bi 141 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  ( z  u.  { z } )  ->  x  C_ 
suc  z ) )
143, 13syl5bi 141 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  z  ->  x  C_  z )  -> 
( x  e.  suc  z  ->  x  C_  suc  z ) )
1514ralimi2 2381 . . . 4  |-  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z )
1615rgenw 2376 . . 3  |-  A. z  e.  om  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
)
17 bdcv 9942 . . . . . 6  |- BOUNDED  y
1817bdss 9958 . . . . 5  |- BOUNDED  x  C_  y
1918ax-bdal 9912 . . . 4  |- BOUNDED  A. x  e.  y  x  C_  y
20 nfv 1421 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  (/)  x  C_  (/)
21 nfv 1421 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  z  x  C_  z
22 nfv 1421 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
23 sseq2 2967 . . . . . 6  |-  ( y  =  (/)  ->  ( x 
C_  y  <->  x  C_  (/) ) )
2423raleqbi1dv 2513 . . . . 5  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  (/)  x  C_  (/) ) )
2524biimprd 147 . . . 4  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. x  e.  (/)  x  C_  (/) 
->  A. x  e.  y  x  C_  y )
)
26 sseq2 2967 . . . . . 6  |-  ( y  =  z  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  z
) )
2726raleqbi1dv 2513 . . . . 5  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  z  x  C_  z
) )
2827biimpd 132 . . . 4  |-  ( y  =  z  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  ->  A. x  e.  z  x  C_  z
) )
29 sseq2 2967 . . . . . 6  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( x  C_  y  <->  x 
C_  suc  z )
)
3029raleqbi1dv 2513 . . . . 5  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  suc  z
x  C_  suc  z ) )
3130biimprd 147 . . . 4  |-  ( y  =  suc  z  -> 
( A. x  e. 
suc  z x  C_  suc  z  ->  A. x  e.  y  x  C_  y
) )
32 nfcv 2178 . . . 4  |-  F/_ y A
33 nfv 1421 . . . 4  |-  F/ y A. x  e.  A  x  C_  A
34 sseq2 2967 . . . . . 6  |-  ( y  =  A  ->  (
x  C_  y  <->  x  C_  A
) )
3534raleqbi1dv 2513 . . . . 5  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  <->  A. x  e.  A  x  C_  A
) )
3635biimpd 132 . . . 4  |-  ( y  =  A  ->  ( A. x  e.  y  x  C_  y  ->  A. x  e.  A  x  C_  A
) )
3719, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36bj-bdfindisg 10047 . . 3  |-  ( ( A. x  e.  (/)  x  C_  (/)  /\  A. z  e.  om  ( A. x  e.  z  x  C_  z  ->  A. x  e.  suc  z x  C_  suc  z
) )  ->  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  x 
C_  A ) )
381, 16, 37mp2an 402 . 2  |-  ( A  e.  om  ->  A. x  e.  A  x  C_  A
)
39 nfv 1421 . . 3  |-  F/ x  B  C_  A
40 sseq1 2966 . . 3  |-  ( x  =  B  ->  (
x  C_  A  <->  B  C_  A
) )
4139, 40rspc 2650 . 2  |-  ( B  e.  A  ->  ( A. x  e.  A  x  C_  A  ->  B  C_  A ) )
4238, 41syl5com 26 1  |-  ( A  e.  om  ->  ( B  e.  A  ->  B 
C_  A ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    \/ wo 629    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306    u. cun 2915    C_ wss 2917   (/)c0 3224   {csn 3375   suc csuc 4102   omcom 4313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-bd0 9907  ax-bdor 9910  ax-bdal 9912  ax-bdex 9913  ax-bdeq 9914  ax-bdel 9915  ax-bdsb 9916  ax-bdsep 9978  ax-infvn 10040
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314  df-bdc 9935  df-bj-ind 10025
This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  10051  bj-nnelirr  10052  bj-nnen2lp  10053
  Copyright terms: Public domain W3C validator