Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans Structured version   Unicode version

Theorem bj-nntrans 9411
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans  om 
C_

Proof of Theorem bj-nntrans
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 3316 . . 3  (/)  C_  (/)
2 df-suc 4074 . . . . . . 7  suc  u.  { }
32eleq2i 2101 . . . . . 6  suc  u.  { }
4 elun 3078 . . . . . . 7  u. 
{ }  { }
5 sssucid 4118 . . . . . . . . . 10  C_  suc
6 sstr2 2946 . . . . . . . . . 10 
C_  C_  suc  C_  suc
75, 6mpi 15 . . . . . . . . 9 
C_  C_ 
suc
87imim2i 12 . . . . . . . 8  C_  C_  suc
9 elsni 3391 . . . . . . . . . 10  { }
109, 5syl6eqss 2989 . . . . . . . . 9  { }  C_  suc
1110a1i 9 . . . . . . . 8  C_  { }  C_  suc
128, 11jaod 636 . . . . . . 7  C_  { }  C_ 
suc
134, 12syl5bi 141 . . . . . 6  C_  u.  { }  C_  suc
143, 13syl5bi 141 . . . . 5  C_  suc  C_  suc
1514ralimi2 2375 . . . 4  C_  suc  C_  suc
1615rgenw 2370 . . 3  om  C_  suc  C_  suc
17 bdcv 9303 . . . . . 6 BOUNDED
1817bdss 9319 . . . . 5 BOUNDED  C_
1918ax-bdal 9273 . . . 4 BOUNDED  C_
20 nfv 1418 . . . 4  F/  (/)  C_  (/)
21 nfv 1418 . . . 4  F/  C_
22 nfv 1418 . . . 4  F/  suc  C_  suc
23 sseq2 2961 . . . . . 6  (/)  C_  C_  (/)
2423raleqbi1dv 2507 . . . . 5  (/)  C_  (/)  C_  (/)
2524biimprd 147 . . . 4  (/)  (/)  C_  (/)  C_
26 sseq2 2961 . . . . . 6  C_  C_
2726raleqbi1dv 2507 . . . . 5  C_  C_
2827biimpd 132 . . . 4  C_  C_
29 sseq2 2961 . . . . . 6  suc  C_  C_  suc
3029raleqbi1dv 2507 . . . . 5  suc  C_  suc  C_  suc
3130biimprd 147 . . . 4  suc  suc  C_  suc  C_
32 nfcv 2175 . . . 4  F/_
33 nfv 1418 . . . 4  F/  C_
34 sseq2 2961 . . . . . 6  C_  C_
3534raleqbi1dv 2507 . . . . 5  C_  C_
3635biimpd 132 . . . 4  C_  C_
3719, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36bj-bdfindisg 9408 . . 3  (/)  C_  (/)  om  C_  suc  C_  suc  om  C_
381, 16, 37mp2an 402 . 2  om  C_
39 nfv 1418 . . 3  F/  C_
40 sseq1 2960 . . 3  C_  C_
4139, 40rspc 2644 . 2  C_  C_
4238, 41syl5com 26 1  om 
C_
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wo 628   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300    u. cun 2909    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   suc csuc 4068   omcom 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdal 9273  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339  ax-infvn 9401
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9296  df-bj-ind 9386
This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  9412  bj-nnelirr  9413  bj-nnen2lp  9414
  Copyright terms: Public domain W3C validator