Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nntrans Structured version   GIF version

Theorem bj-nntrans 8527
Description: A natural number is a transitive set. (Contributed by BJ, 22-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nntrans (A 𝜔 → (B ABA))

Proof of Theorem bj-nntrans
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ral0 3293 . . 3 x x ⊆ ∅
2 df-suc 4049 . . . . . . 7 suc z = (z ∪ {z})
32eleq2i 2080 . . . . . 6 (x suc zx (z ∪ {z}))
4 elun 3055 . . . . . . 7 (x (z ∪ {z}) ↔ (x z x {z}))
5 sssucid 4093 . . . . . . . . . 10 z ⊆ suc z
6 sstr2 2923 . . . . . . . . . 10 (xz → (z ⊆ suc zx ⊆ suc z))
75, 6mpi 15 . . . . . . . . 9 (xzx ⊆ suc z)
87imim2i 12 . . . . . . . 8 ((x zxz) → (x zx ⊆ suc z))
9 elsni 3366 . . . . . . . . . 10 (x {z} → x = z)
109, 5syl6eqss 2966 . . . . . . . . 9 (x {z} → x ⊆ suc z)
1110a1i 9 . . . . . . . 8 ((x zxz) → (x {z} → x ⊆ suc z))
128, 11jaod 621 . . . . . . 7 ((x zxz) → ((x z x {z}) → x ⊆ suc z))
134, 12syl5bi 141 . . . . . 6 ((x zxz) → (x (z ∪ {z}) → x ⊆ suc z))
143, 13syl5bi 141 . . . . 5 ((x zxz) → (x suc zx ⊆ suc z))
1514ralimi2 2353 . . . 4 (x z xzx suc zx ⊆ suc z)
1615rgenw 2348 . . 3 z 𝜔 (x z xzx suc zx ⊆ suc z)
17 bdcv 8425 . . . . . 6 BOUNDED y
1817bdss 8441 . . . . 5 BOUNDED xy
1918ax-bdal 8395 . . . 4 BOUNDED x y xy
20 nfv 1397 . . . 4 yx x ⊆ ∅
21 nfv 1397 . . . 4 yx z xz
22 nfv 1397 . . . 4 yx suc zx ⊆ suc z
23 sseq2 2938 . . . . . 6 (y = ∅ → (xyx ⊆ ∅))
2423raleqbi1dv 2485 . . . . 5 (y = ∅ → (x y xyx x ⊆ ∅))
2524biimprd 147 . . . 4 (y = ∅ → (x x ⊆ ∅ → x y xy))
26 sseq2 2938 . . . . . 6 (y = z → (xyxz))
2726raleqbi1dv 2485 . . . . 5 (y = z → (x y xyx z xz))
2827biimpd 132 . . . 4 (y = z → (x y xyx z xz))
29 sseq2 2938 . . . . . 6 (y = suc z → (xyx ⊆ suc z))
3029raleqbi1dv 2485 . . . . 5 (y = suc z → (x y xyx suc zx ⊆ suc z))
3130biimprd 147 . . . 4 (y = suc z → (x suc zx ⊆ suc zx y xy))
32 nfcv 2154 . . . 4 yA
33 nfv 1397 . . . 4 yx A xA
34 sseq2 2938 . . . . . 6 (y = A → (xyxA))
3534raleqbi1dv 2485 . . . . 5 (y = A → (x y xyx A xA))
3635biimpd 132 . . . 4 (y = A → (x y xyx A xA))
3719, 20, 21, 22, 25, 28, 31, 32, 33, 36bj-bdfindisg 8524 . . 3 ((x x ⊆ ∅ z 𝜔 (x z xzx suc zx ⊆ suc z)) → (A 𝜔 → x A xA))
381, 16, 37mp2an 402 . 2 (A 𝜔 → x A xA)
39 nfv 1397 . . 3 x BA
40 sseq1 2937 . . 3 (x = B → (xABA))
4139, 40rspc 2621 . 2 (B A → (x A xABA))
4238, 41syl5com 26 1 (A 𝜔 → (B ABA))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wo 613   = wceq 1226   wcel 1369  wral 2278  cun 2886  wss 2888  c0 3195  {csn 3342  suc csuc 4043  𝜔com 4231
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-nul 3849  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-bd0 8390  ax-bdor 8393  ax-bdal 8395  ax-bdex 8396  ax-bdeq 8397  ax-bdel 8398  ax-bdsb 8399  ax-bdsep 8461  ax-infvn 8517
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1622  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ral 2283  df-rex 2284  df-rab 2287  df-v 2531  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-sn 3348  df-pr 3349  df-uni 3547  df-int 3582  df-suc 4049  df-iom 4232  df-bdc 8418  df-bj-ind 8504
This theorem is referenced by:  bj-nntrans2  8528  bj-nnelirr  8529  bj-nnen2lp  8530
  Copyright terms: Public domain W3C validator