Theorem bj-nnelirr 9413

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4224 for natural numbers, which does not require ax-setind 4220. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	|- (A e. om -> -. A e. A)

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3222	. 2 |- -. (/) e. (/)
2		df-suc 4074	. . . . . 6 |- suc y = (y u. {y })
3	2	eleq2i 2101	. . . . 5 |- ( suc y e. suc y <-> suc y e. (y u. {y }))
4		elun 3078	. . . . . 6 |- ( suc y e. (y u. {y }) <-> ( suc y e. y \/ suc y e. {y }))
5		bj-nntrans 9411	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> ( suc y e. y -> suc y C_ y))
6		sucssel 4127	. . . . . . . 8 |- (y e. om -> ( suc y C_ y -> y e. y))
7	5, 6	syld 40	. . . . . . 7 |- (y e. om -> ( suc y e. y -> y e. y))
8		vex 2554	. . . . . . . . . 10 |- y e. _V
9	8	sucid 4120	. . . . . . . . 9 |- y e. suc y
10		elsni 3391	. . . . . . . . 9 |- ( suc y e. {y } -> suc y = y)
11	9, 10	syl5eleq 2123	. . . . . . . 8 |- ( suc y e. {y } -> y e. y)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 |- (y e. om -> ( suc y e. {y } -> y e. y))
13	7, 12	jaod 636	. . . . . 6 |- (y e. om -> (( suc y e. y \/ suc y e. {y }) -> y e. y))
14	4, 13	syl5bi 141	. . . . 5 |- (y e. om -> ( suc y e. (y u. {y }) -> y e. y))
15	3, 14	syl5bi 141	. . . 4 |- (y e. om -> ( suc y e. suc y -> y e. y))
16	15	con3d 560	. . 3 |- (y e. om -> (-. y e. y -> -. suc y e. suc y))
17	16	rgen 2368	. 2 |- A.y e. om (-. y e. y -> -. suc y e. suc y)
18		ax-bdel 9276	. . . 4 |- BOUNDED x e. x
19	18	ax-bdn 9272	. . 3 |- BOUNDED -. x e. x
20		nfv 1418	. . 3 |- F/x -. (/) e. (/)
21		nfv 1418	. . 3 |- F/x -. y e. y
22		nfv 1418	. . 3 |- F/x -. suc y e. suc y
23		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (x = (/) -> (x e. x <-> (/) e. x))
24		eleq2 2098	. . . . . 6 |- (x = (/) -> ( (/) e. x <-> (/) e. (/)))
25	23, 24	bitrd 177	. . . . 5 |- (x = (/) -> (x e. x <-> (/) e. (/)))
26	25	notbid 591	. . . 4 |- (x = (/) -> (-. x e. x <-> -. (/) e. (/)))
27	26	biimprd 147	. . 3 |- (x = (/) -> (-. (/) e. (/) -> -. x e. x))
28		elequ1 1597	. . . . . 6 |- (x = y -> (x e. x <-> y e. x))
29		elequ2 1598	. . . . . 6 |- (x = y -> (y e. x <-> y e. y))
30	28, 29	bitrd 177	. . . . 5 |- (x = y -> (x e. x <-> y e. y))
31	30	notbid 591	. . . 4 |- (x = y -> (-. x e. x <-> -. y e. y))
32	31	biimpd 132	. . 3 |- (x = y -> (-. x e. x -> -. y e. y))
33		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (x = suc y -> (x e. x <-> suc y e. x))
34		eleq2 2098	. . . . . 6 |- (x = suc y -> ( suc y e. x <-> suc y e. suc y))
35	33, 34	bitrd 177	. . . . 5 |- (x = suc y -> (x e. x <-> suc y e. suc y))
36	35	notbid 591	. . . 4 |- (x = suc y -> (-. x e. x <-> -. suc y e. suc y))
37	36	biimprd 147	. . 3 |- (x = suc y -> (-. suc y e. suc y -> -. x e. x))
38		nfcv 2175	. . 3 |- F/_xA
39		nfv 1418	. . 3 |- F/x -. A e. A
40		eleq1 2097	. . . . . 6 |- (x = A -> (x e. x <-> A e. x))
41		eleq2 2098	. . . . . 6 |- (x = A -> (A e. x <-> A e. A))
42	40, 41	bitrd 177	. . . . 5 |- (x = A -> (x e. x <-> A e. A))
43	42	notbid 591	. . . 4 |- (x = A -> (-. x e. x <-> -. A e. A))
44	43	biimpd 132	. . 3 |- (x = A -> (-. x e. x -> -. A e. A))
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 9408	. 2 |- ((-. (/) e. (/) /\ A.y e. om (-. y e. y -> -. suc y e. suc y)) -> (A e. om -> -. A e. A))
46	1, 17, 45	mp2an 402	1 |- (A e. om -> -. A e. A)

Syntax hints:  -. wn 3   -> wi 4   \/ wo 628   = wceq 1242   e. wcel 1390  A.wral 2300   u. cun 2909   C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   suc csuc 4068   omcom 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdn 9272  ax-bdal 9273  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339  ax-infvn 9401

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9296  df-bj-ind 9386

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  9414