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Theorem bj-nnelirr 10052
Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4266 for natural numbers, which does not require ax-setind 4262. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelirr  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )

Proof of Theorem bj-nnelirr
Dummy variables  x  y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3228 . 2  |-  -.  (/)  e.  (/)
2 df-suc 4108 . . . . . 6  |-  suc  y  =  ( y  u. 
{ y } )
32eleq2i 2104 . . . . 5  |-  ( suc  y  e.  suc  y  <->  suc  y  e.  ( y  u.  { y } ) )
4 elun 3084 . . . . . 6  |-  ( suc  y  e.  ( y  u.  { y } )  <->  ( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e.  { y } ) )
5 bj-nntrans 10050 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  suc  y  C_  y
) )
6 sucssel 4161 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  C_  y  -> 
y  e.  y ) )
75, 6syld 40 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  y  ->  y  e.  y ) )
8 vex 2560 . . . . . . . . . 10  |-  y  e. 
_V
98sucid 4154 . . . . . . . . 9  |-  y  e. 
suc  y
10 elsni 3393 . . . . . . . . 9  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  suc  y  =  y )
119, 10syl5eleq 2126 . . . . . . . 8  |-  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y )
1211a1i 9 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  { y }  ->  y  e.  y ) )
137, 12jaod 637 . . . . . 6  |-  ( y  e.  om  ->  (
( suc  y  e.  y  \/  suc  y  e. 
{ y } )  ->  y  e.  y ) )
144, 13syl5bi 141 . . . . 5  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  (
y  u.  { y } )  ->  y  e.  y ) )
153, 14syl5bi 141 . . . 4  |-  ( y  e.  om  ->  ( suc  y  e.  suc  y  ->  y  e.  y ) )
1615con3d 561 . . 3  |-  ( y  e.  om  ->  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
1716rgen 2374 . 2  |-  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e.  suc  y )
18 ax-bdel 9915 . . . 4  |- BOUNDED  x  e.  x
1918ax-bdn 9911 . . 3  |- BOUNDED  -.  x  e.  x
20 nfv 1421 . . 3  |-  F/ x  -.  (/)  e.  (/)
21 nfv 1421 . . 3  |-  F/ x  -.  y  e.  y
22 nfv 1421 . . 3  |-  F/ x  -.  suc  y  e.  suc  y
23 eleq1 2100 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  x
) )
24 eleq2 2101 . . . . . 6  |-  ( x  =  (/)  ->  ( (/)  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2523, 24bitrd 177 . . . . 5  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  e.  x  <->  (/)  e.  (/) ) )
2625notbid 592 . . . 4  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  (/)  e.  (/) ) )
2726biimprd 147 . . 3  |-  ( x  =  (/)  ->  ( -.  (/)  e.  (/)  ->  -.  x  e.  x ) )
28 elequ1 1600 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  x ) )
29 elequ2 1601 . . . . . 6  |-  ( x  =  y  ->  (
y  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3028, 29bitrd 177 . . . . 5  |-  ( x  =  y  ->  (
x  e.  x  <->  y  e.  y ) )
3130notbid 592 . . . 4  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  y  e.  y ) )
3231biimpd 132 . . 3  |-  ( x  =  y  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  y  e.  y ) )
33 eleq1 2100 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  x ) )
34 eleq2 2101 . . . . . 6  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( suc  y  e.  x 
<->  suc  y  e.  suc  y ) )
3533, 34bitrd 177 . . . . 5  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( x  e.  x  <->  suc  y  e.  suc  y
) )
3635notbid 592 . . . 4  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  x  e.  x  <->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )
3736biimprd 147 . . 3  |-  ( x  =  suc  y  -> 
( -.  suc  y  e.  suc  y  ->  -.  x  e.  x )
)
38 nfcv 2178 . . 3  |-  F/_ x A
39 nfv 1421 . . 3  |-  F/ x  -.  A  e.  A
40 eleq1 2100 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  x ) )
41 eleq2 2101 . . . . . 6  |-  ( x  =  A  ->  ( A  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4240, 41bitrd 177 . . . . 5  |-  ( x  =  A  ->  (
x  e.  x  <->  A  e.  A ) )
4342notbid 592 . . . 4  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  <->  -.  A  e.  A ) )
4443biimpd 132 . . 3  |-  ( x  =  A  ->  ( -.  x  e.  x  ->  -.  A  e.  A
) )
4519, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44bj-bdfindisg 10047 . 2  |-  ( ( -.  (/)  e.  (/)  /\  A. y  e.  om  ( -.  y  e.  y  ->  -.  suc  y  e. 
suc  y ) )  ->  ( A  e. 
om  ->  -.  A  e.  A ) )
461, 17, 45mp2an 402 1  |-  ( A  e.  om  ->  -.  A  e.  A )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    \/ wo 629    = wceq 1243    e. wcel 1393   A.wral 2306    u. cun 2915    C_ wss 2917   (/)c0 3224   {csn 3375   suc csuc 4102   omcom 4313
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-nul 3883  ax-pr 3944  ax-un 4170  ax-bd0 9907  ax-bdor 9910  ax-bdn 9911  ax-bdal 9912  ax-bdex 9913  ax-bdeq 9914  ax-bdel 9915  ax-bdsb 9916  ax-bdsep 9978  ax-infvn 10040
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-rab 2315  df-v 2559  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-nul 3225  df-sn 3381  df-pr 3382  df-uni 3581  df-int 3616  df-suc 4108  df-iom 4314  df-bdc 9935  df-bj-ind 10025
This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  10053
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