Users' Mathboxes Mathbox for BJ < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  bj-nnelirr Unicode version

Theorem bj-nnelirr 9413
Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4224 for natural numbers, which does not require ax-setind 4220. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelirr  om

Proof of Theorem bj-nnelirr
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3222 . 2  (/)  (/)
2 df-suc 4074 . . . . . 6  suc  u.  { }
32eleq2i 2101 . . . . 5  suc  suc  suc  u.  { }
4 elun 3078 . . . . . 6  suc  u.  { }  suc  suc  { }
5 bj-nntrans 9411 . . . . . . . 8  om  suc 
suc  C_
6 sucssel 4127 . . . . . . . 8  om  suc  C_
75, 6syld 40 . . . . . . 7  om  suc
8 vex 2554 . . . . . . . . . 10 
_V
98sucid 4120 . . . . . . . . 9 
suc
10 elsni 3391 . . . . . . . . 9  suc  { }  suc
119, 10syl5eleq 2123 . . . . . . . 8  suc  { }
1211a1i 9 . . . . . . 7  om  suc  { }
137, 12jaod 636 . . . . . 6  om  suc  suc 
{ }
144, 13syl5bi 141 . . . . 5  om  suc  u.  { }
153, 14syl5bi 141 . . . 4  om  suc  suc
1615con3d 560 . . 3  om  suc 
suc
1716rgen 2368 . 2  om  suc  suc
18 ax-bdel 9276 . . . 4 BOUNDED
1918ax-bdn 9272 . . 3 BOUNDED
20 nfv 1418 . . 3  F/  (/)  (/)
21 nfv 1418 . . 3  F/
22 nfv 1418 . . 3  F/  suc  suc
23 eleq1 2097 . . . . . 6  (/)  (/)
24 eleq2 2098 . . . . . 6  (/)  (/)  (/)  (/)
2523, 24bitrd 177 . . . . 5  (/)  (/)  (/)
2625notbid 591 . . . 4  (/)  (/)  (/)
2726biimprd 147 . . 3  (/)  (/)  (/)
28 elequ1 1597 . . . . . 6
29 elequ2 1598 . . . . . 6
3028, 29bitrd 177 . . . . 5
3130notbid 591 . . . 4
3231biimpd 132 . . 3
33 eleq1 2097 . . . . . 6  suc  suc
34 eleq2 2098 . . . . . 6  suc  suc  suc  suc
3533, 34bitrd 177 . . . . 5  suc  suc  suc
3635notbid 591 . . . 4  suc  suc  suc
3736biimprd 147 . . 3  suc  suc 
suc
38 nfcv 2175 . . 3  F/_
39 nfv 1418 . . 3  F/
40 eleq1 2097 . . . . . 6
41 eleq2 2098 . . . . . 6
4240, 41bitrd 177 . . . . 5
4342notbid 591 . . . 4
4443biimpd 132 . . 3
4519, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44bj-bdfindisg 9408 . 2  (/)  (/)  om  suc 
suc  om
461, 17, 45mp2an 402 1  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wn 3   wi 4   wo 628   wceq 1242   wcel 1390  wral 2300    u. cun 2909    C_ wss 2911   (/)c0 3218   {csn 3367   suc csuc 4068   omcom 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdn 9272  ax-bdal 9273  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339  ax-infvn 9401
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9296  df-bj-ind 9386
This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  9414
  Copyright terms: Public domain W3C validator