Theorem bj-nnelirr 8529

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4199 for natural numbers, which does not require ax-setind 4195. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	⊢ (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A)

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3199	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
2		df-suc 4049	. . . . . 6 ⊢ suc y = (y ∪ {y})
3	2	eleq2i 2080	. . . . 5 ⊢ (suc y ∈ suc y ↔ suc y ∈ (y ∪ {y}))
4		elun 3055	. . . . . 6 ⊢ (suc y ∈ (y ∪ {y}) ↔ (suc y ∈ y ∨ suc y ∈ {y}))
5		bj-nntrans 8527	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ y → suc y ⊆ y))
6		sucssel 4102	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ⊆ y → y ∈ y))
7	5, 6	syld 40	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ y → y ∈ y))
8		vex 2532	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
9	8	sucid 4095	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ suc y
10		elsni 3366	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc y ∈ {y} → suc y = y)
11	9, 10	syl5eleq 2102	. . . . . . . 8 ⊢ (suc y ∈ {y} → y ∈ y)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ {y} → y ∈ y))
13	7, 12	jaod 621	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ((suc y ∈ y ∨ suc y ∈ {y}) → y ∈ y))
14	4, 13	syl5bi 141	. . . . 5 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ (y ∪ {y}) → y ∈ y))
15	3, 14	syl5bi 141	. . . 4 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ suc y → y ∈ y))
16	15	con3d 545	. . 3 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y))
17	16	rgen 2346	. 2 ⊢ ∀y ∈ 𝜔 (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y)
18		ax-bdel 8398	. . . 4 ⊢ BOUNDED x ∈ x
19	18	ax-bdn 8394	. . 3 ⊢ BOUNDED ¬ x ∈ x
20		nfv 1397	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ ∅ ∈ ∅
21		nfv 1397	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ y ∈ y
22		nfv 1397	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ suc y ∈ suc y
23		eleq1 2076	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ x ↔ ∅ ∈ x))
24		eleq2 2077	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ∅))
25	23, 24	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ x ↔ ∅ ∈ ∅))
26	25	notbid 576	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → (¬ x ∈ x ↔ ¬ ∅ ∈ ∅))
27	26	biimprd 147	. . 3 ⊢ (x = ∅ → (¬ ∅ ∈ ∅ → ¬ x ∈ x))
28		elequ1 1576	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (x ∈ x ↔ y ∈ x))
29		elequ2 1577	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (y ∈ x ↔ y ∈ y))
30	28, 29	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x ∈ x ↔ y ∈ y))
31	30	notbid 576	. . . 4 ⊢ (x = y → (¬ x ∈ x ↔ ¬ y ∈ y))
32	31	biimpd 132	. . 3 ⊢ (x = y → (¬ x ∈ x → ¬ y ∈ y))
33		eleq1 2076	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (x ∈ x ↔ suc y ∈ x))
34		eleq2 2077	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ suc y))
35	33, 34	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (x ∈ x ↔ suc y ∈ suc y))
36	35	notbid 576	. . . 4 ⊢ (x = suc y → (¬ x ∈ x ↔ ¬ suc y ∈ suc y))
37	36	biimprd 147	. . 3 ⊢ (x = suc y → (¬ suc y ∈ suc y → ¬ x ∈ x))
38		nfcv 2154	. . 3 ⊢ ℲxA
39		nfv 1397	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ A ∈ A
40		eleq1 2076	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (x ∈ x ↔ A ∈ x))
41		eleq2 2077	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (A ∈ x ↔ A ∈ A))
42	40, 41	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∈ x ↔ A ∈ A))
43	42	notbid 576	. . . 4 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ x ↔ ¬ A ∈ A))
44	43	biimpd 132	. . 3 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ x → ¬ A ∈ A))
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 8524	. 2 ⊢ ((¬ ∅ ∈ ∅ ∧ ∀y ∈ 𝜔 (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y)) → (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A))
46	1, 17, 45	mp2an 402	1 ⊢ (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 613   = wceq 1226   ∈ wcel 1369  ∀wral 2278   ∪ cun 2886   ⊆ wss 2888  ∅c0 3195  {csn 3342  suc csuc 4043  𝜔com 4231

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 529  ax-in2 530  ax-io 614  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1358  ax-ie2 1359  ax-8 1371  ax-10 1372  ax-11 1373  ax-i12 1374  ax-bnd 1375  ax-4 1376  ax-13 1380  ax-14 1381  ax-17 1395  ax-i9 1399  ax-ial 1403  ax-i5r 1404  ax-ext 1998  ax-nul 3849  ax-pr 3910  ax-un 4111  ax-bd0 8390  ax-bdor 8393  ax-bdn 8394  ax-bdal 8395  ax-bdex 8396  ax-bdeq 8397  ax-bdel 8398  ax-bdsb 8399  ax-bdsep 8461  ax-infvn 8517

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1622  df-clab 2003  df-cleq 2009  df-clel 2012  df-nfc 2143  df-ral 2283  df-rex 2284  df-rab 2287  df-v 2531  df-dif 2891  df-un 2893  df-in 2895  df-ss 2902  df-nul 3196  df-sn 3348  df-pr 3349  df-uni 3547  df-int 3582  df-suc 4049  df-iom 4232  df-bdc 8418  df-bj-ind 8504

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  8530