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Theorem bj-nnelirr 9387
Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4224 for natural numbers, which does not require ax-setind 4220. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelirr (A 𝜔 → ¬ A A)

Proof of Theorem bj-nnelirr
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3222 . 2 ¬ ∅
2 df-suc 4074 . . . . . 6 suc y = (y ∪ {y})
32eleq2i 2101 . . . . 5 (suc y suc y ↔ suc y (y ∪ {y}))
4 elun 3078 . . . . . 6 (suc y (y ∪ {y}) ↔ (suc y y suc y {y}))
5 bj-nntrans 9385 . . . . . . . 8 (y 𝜔 → (suc y y → suc yy))
6 sucssel 4127 . . . . . . . 8 (y 𝜔 → (suc yyy y))
75, 6syld 40 . . . . . . 7 (y 𝜔 → (suc y yy y))
8 vex 2554 . . . . . . . . . 10 y V
98sucid 4120 . . . . . . . . 9 y suc y
10 elsni 3391 . . . . . . . . 9 (suc y {y} → suc y = y)
119, 10syl5eleq 2123 . . . . . . . 8 (suc y {y} → y y)
1211a1i 9 . . . . . . 7 (y 𝜔 → (suc y {y} → y y))
137, 12jaod 636 . . . . . 6 (y 𝜔 → ((suc y y suc y {y}) → y y))
144, 13syl5bi 141 . . . . 5 (y 𝜔 → (suc y (y ∪ {y}) → y y))
153, 14syl5bi 141 . . . 4 (y 𝜔 → (suc y suc yy y))
1615con3d 560 . . 3 (y 𝜔 → (¬ y y → ¬ suc y suc y))
1716rgen 2368 . 2 y 𝜔 (¬ y y → ¬ suc y suc y)
18 ax-bdel 9256 . . . 4 BOUNDED x x
1918ax-bdn 9252 . . 3 BOUNDED ¬ x x
20 nfv 1418 . . 3 x ¬ ∅
21 nfv 1418 . . 3 x ¬ y y
22 nfv 1418 . . 3 x ¬ suc y suc y
23 eleq1 2097 . . . . . 6 (x = ∅ → (x x ↔ ∅ x))
24 eleq2 2098 . . . . . 6 (x = ∅ → (∅ x ↔ ∅ ∅))
2523, 24bitrd 177 . . . . 5 (x = ∅ → (x x ↔ ∅ ∅))
2625notbid 591 . . . 4 (x = ∅ → (¬ x x ↔ ¬ ∅ ∅))
2726biimprd 147 . . 3 (x = ∅ → (¬ ∅ ∅ → ¬ x x))
28 elequ1 1597 . . . . . 6 (x = y → (x xy x))
29 elequ2 1598 . . . . . 6 (x = y → (y xy y))
3028, 29bitrd 177 . . . . 5 (x = y → (x xy y))
3130notbid 591 . . . 4 (x = y → (¬ x x ↔ ¬ y y))
3231biimpd 132 . . 3 (x = y → (¬ x x → ¬ y y))
33 eleq1 2097 . . . . . 6 (x = suc y → (x x ↔ suc y x))
34 eleq2 2098 . . . . . 6 (x = suc y → (suc y x ↔ suc y suc y))
3533, 34bitrd 177 . . . . 5 (x = suc y → (x x ↔ suc y suc y))
3635notbid 591 . . . 4 (x = suc y → (¬ x x ↔ ¬ suc y suc y))
3736biimprd 147 . . 3 (x = suc y → (¬ suc y suc y → ¬ x x))
38 nfcv 2175 . . 3 xA
39 nfv 1418 . . 3 x ¬ A A
40 eleq1 2097 . . . . . 6 (x = A → (x xA x))
41 eleq2 2098 . . . . . 6 (x = A → (A xA A))
4240, 41bitrd 177 . . . . 5 (x = A → (x xA A))
4342notbid 591 . . . 4 (x = A → (¬ x x ↔ ¬ A A))
4443biimpd 132 . . 3 (x = A → (¬ x x → ¬ A A))
4519, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44bj-bdfindisg 9382 . 2 ((¬ ∅ y 𝜔 (¬ y y → ¬ suc y suc y)) → (A 𝜔 → ¬ A A))
461, 17, 45mp2an 402 1 (A 𝜔 → ¬ A A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  wral 2300  cun 2909  wss 2911  c0 3218  {csn 3367  suc csuc 4068  𝜔com 4256
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9248  ax-bdor 9251  ax-bdn 9252  ax-bdal 9253  ax-bdex 9254  ax-bdeq 9255  ax-bdel 9256  ax-bdsb 9257  ax-bdsep 9319  ax-infvn 9375
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9276  df-bj-ind 9362
This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  9388
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