Theorem bj-nnelirr 7322

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4208 for natural numbers, which does not require ax-setind 4204. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	⊢ (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A)

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3205	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
2		df-suc 4057	. . . . . 6 ⊢ suc y = (y ∪ {y})
3	2	eleq2i 2086	. . . . 5 ⊢ (suc y ∈ suc y ↔ suc y ∈ (y ∪ {y}))
4		elun 3061	. . . . . 6 ⊢ (suc y ∈ (y ∪ {y}) ↔ (suc y ∈ y ∨ suc y ∈ {y}))
5		bj-nntrans 7320	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ y → suc y ⊆ y))
6		sucssel 4111	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ⊆ y → y ∈ y))
7	5, 6	syld 40	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ y → y ∈ y))
8		vex 2538	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
9	8	sucid 4103	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ suc y
10		elsni 3374	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc y ∈ {y} → suc y = y)
11	9, 10	syl5eleq 2108	. . . . . . . 8 ⊢ (suc y ∈ {y} → y ∈ y)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ {y} → y ∈ y))
13	7, 12	jaod 624	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ((suc y ∈ y ∨ suc y ∈ {y}) → y ∈ y))
14	4, 13	syl5bi 141	. . . . 5 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ (y ∪ {y}) → y ∈ y))
15	3, 14	syl5bi 141	. . . 4 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ suc y → y ∈ y))
16	15	con3d 548	. . 3 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y))
17	16	rgen 2352	. 2 ⊢ ∀y ∈ 𝜔 (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y)
18		ax-bdel 7195	. . . 4 ⊢ BOUNDED x ∈ x
19	18	ax-bdn 7191	. . 3 ⊢ BOUNDED ¬ x ∈ x
20		nfv 1402	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ ∅ ∈ ∅
21		nfv 1402	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ y ∈ y
22		nfv 1402	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ suc y ∈ suc y
23		eleq1 2082	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ x ↔ ∅ ∈ x))
24		eleq2 2083	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ∅))
25	23, 24	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ x ↔ ∅ ∈ ∅))
26	25	notbid 579	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → (¬ x ∈ x ↔ ¬ ∅ ∈ ∅))
27	26	biimprd 147	. . 3 ⊢ (x = ∅ → (¬ ∅ ∈ ∅ → ¬ x ∈ x))
28		elequ1 1582	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (x ∈ x ↔ y ∈ x))
29		elequ2 1583	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (y ∈ x ↔ y ∈ y))
30	28, 29	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x ∈ x ↔ y ∈ y))
31	30	notbid 579	. . . 4 ⊢ (x = y → (¬ x ∈ x ↔ ¬ y ∈ y))
32	31	biimpd 132	. . 3 ⊢ (x = y → (¬ x ∈ x → ¬ y ∈ y))
33		eleq1 2082	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (x ∈ x ↔ suc y ∈ x))
34		eleq2 2083	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ suc y))
35	33, 34	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (x ∈ x ↔ suc y ∈ suc y))
36	35	notbid 579	. . . 4 ⊢ (x = suc y → (¬ x ∈ x ↔ ¬ suc y ∈ suc y))
37	36	biimprd 147	. . 3 ⊢ (x = suc y → (¬ suc y ∈ suc y → ¬ x ∈ x))
38		nfcv 2160	. . 3 ⊢ ℲxA
39		nfv 1402	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ A ∈ A
40		eleq1 2082	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (x ∈ x ↔ A ∈ x))
41		eleq2 2083	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (A ∈ x ↔ A ∈ A))
42	40, 41	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∈ x ↔ A ∈ A))
43	42	notbid 579	. . . 4 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ x ↔ ¬ A ∈ A))
44	43	biimpd 132	. . 3 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ x → ¬ A ∈ A))
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 7317	. 2 ⊢ ((¬ ∅ ∈ ∅ ∧ ∀y ∈ 𝜔 (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y)) → (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A))
46	1, 17, 45	mp2an 404	1 ⊢ (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 616   = wceq 1228   ∈ wcel 1374  ∀wral 2284   ∪ cun 2892   ⊆ wss 2894  ∅c0 3201  {csn 3350  suc csuc 4051  𝜔com 4240

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-nul 3857  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-bd0 7187  ax-bdor 7190  ax-bdn 7191  ax-bdal 7192  ax-bdex 7193  ax-bdeq 7194  ax-bdel 7195  ax-bdsb 7196  ax-bdsep 7258  ax-infvn 7310

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-rab 2293  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-suc 4057  df-iom 4241  df-bdc 7215  df-bj-ind 7297

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  7323