Theorem bj-nnelirr 9413

Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4224 for natural numbers, which does not require ax-setind 4220. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)

Assertion

Ref	Expression
bj-nnelirr	⊢ (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A)

Proof of Theorem bj-nnelirr

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		noel 3222	. 2 ⊢ ¬ ∅ ∈ ∅
2		df-suc 4074	. . . . . 6 ⊢ suc y = (y ∪ {y})
3	2	eleq2i 2101	. . . . 5 ⊢ (suc y ∈ suc y ↔ suc y ∈ (y ∪ {y}))
4		elun 3078	. . . . . 6 ⊢ (suc y ∈ (y ∪ {y}) ↔ (suc y ∈ y ∨ suc y ∈ {y}))
5		bj-nntrans 9411	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ y → suc y ⊆ y))
6		sucssel 4127	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ⊆ y → y ∈ y))
7	5, 6	syld 40	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ y → y ∈ y))
8		vex 2554	. . . . . . . . . 10 ⊢ y ∈ V
9	8	sucid 4120	. . . . . . . . 9 ⊢ y ∈ suc y
10		elsni 3391	. . . . . . . . 9 ⊢ (suc y ∈ {y} → suc y = y)
11	9, 10	syl5eleq 2123	. . . . . . . 8 ⊢ (suc y ∈ {y} → y ∈ y)
12	11	a1i 9	. . . . . . 7 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ {y} → y ∈ y))
13	7, 12	jaod 636	. . . . . 6 ⊢ (y ∈ 𝜔 → ((suc y ∈ y ∨ suc y ∈ {y}) → y ∈ y))
14	4, 13	syl5bi 141	. . . . 5 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ (y ∪ {y}) → y ∈ y))
15	3, 14	syl5bi 141	. . . 4 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (suc y ∈ suc y → y ∈ y))
16	15	con3d 560	. . 3 ⊢ (y ∈ 𝜔 → (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y))
17	16	rgen 2368	. 2 ⊢ ∀y ∈ 𝜔 (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y)
18		ax-bdel 9276	. . . 4 ⊢ BOUNDED x ∈ x
19	18	ax-bdn 9272	. . 3 ⊢ BOUNDED ¬ x ∈ x
20		nfv 1418	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ ∅ ∈ ∅
21		nfv 1418	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ y ∈ y
22		nfv 1418	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ suc y ∈ suc y
23		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ x ↔ ∅ ∈ x))
24		eleq2 2098	. . . . . 6 ⊢ (x = ∅ → (∅ ∈ x ↔ ∅ ∈ ∅))
25	23, 24	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = ∅ → (x ∈ x ↔ ∅ ∈ ∅))
26	25	notbid 591	. . . 4 ⊢ (x = ∅ → (¬ x ∈ x ↔ ¬ ∅ ∈ ∅))
27	26	biimprd 147	. . 3 ⊢ (x = ∅ → (¬ ∅ ∈ ∅ → ¬ x ∈ x))
28		elequ1 1597	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (x ∈ x ↔ y ∈ x))
29		elequ2 1598	. . . . . 6 ⊢ (x = y → (y ∈ x ↔ y ∈ y))
30	28, 29	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = y → (x ∈ x ↔ y ∈ y))
31	30	notbid 591	. . . 4 ⊢ (x = y → (¬ x ∈ x ↔ ¬ y ∈ y))
32	31	biimpd 132	. . 3 ⊢ (x = y → (¬ x ∈ x → ¬ y ∈ y))
33		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (x ∈ x ↔ suc y ∈ x))
34		eleq2 2098	. . . . . 6 ⊢ (x = suc y → (suc y ∈ x ↔ suc y ∈ suc y))
35	33, 34	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = suc y → (x ∈ x ↔ suc y ∈ suc y))
36	35	notbid 591	. . . 4 ⊢ (x = suc y → (¬ x ∈ x ↔ ¬ suc y ∈ suc y))
37	36	biimprd 147	. . 3 ⊢ (x = suc y → (¬ suc y ∈ suc y → ¬ x ∈ x))
38		nfcv 2175	. . 3 ⊢ ℲxA
39		nfv 1418	. . 3 ⊢ Ⅎx ¬ A ∈ A
40		eleq1 2097	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (x ∈ x ↔ A ∈ x))
41		eleq2 2098	. . . . . 6 ⊢ (x = A → (A ∈ x ↔ A ∈ A))
42	40, 41	bitrd 177	. . . . 5 ⊢ (x = A → (x ∈ x ↔ A ∈ A))
43	42	notbid 591	. . . 4 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ x ↔ ¬ A ∈ A))
44	43	biimpd 132	. . 3 ⊢ (x = A → (¬ x ∈ x → ¬ A ∈ A))
45	19, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44	bj-bdfindisg 9408	. 2 ⊢ ((¬ ∅ ∈ ∅ ∧ ∀y ∈ 𝜔 (¬ y ∈ y → ¬ suc y ∈ suc y)) → (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A))
46	1, 17, 45	mp2an 402	1 ⊢ (A ∈ 𝜔 → ¬ A ∈ A)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∨ wo 628   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ∪ cun 2909   ⊆ wss 2911  ∅c0 3218  {csn 3367  suc csuc 4068  𝜔com 4256

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-nul 3874  ax-pr 3935  ax-un 4136  ax-bd0 9268  ax-bdor 9271  ax-bdn 9272  ax-bdal 9273  ax-bdex 9274  ax-bdeq 9275  ax-bdel 9276  ax-bdsb 9277  ax-bdsep 9339  ax-infvn 9401

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-sn 3373  df-pr 3374  df-uni 3572  df-int 3607  df-suc 4074  df-iom 4257  df-bdc 9296  df-bj-ind 9386

This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  9414