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Theorem bj-nnelirr 7322
Description: A natural number does not belong to itself. Version of elirr 4208 for natural numbers, which does not require ax-setind 4204. (Contributed by BJ, 24-Nov-2019.) (Proof modification is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
bj-nnelirr (A 𝜔 → ¬ A A)

Proof of Theorem bj-nnelirr
Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 noel 3205 . 2 ¬ ∅
2 df-suc 4057 . . . . . 6 suc y = (y ∪ {y})
32eleq2i 2086 . . . . 5 (suc y suc y ↔ suc y (y ∪ {y}))
4 elun 3061 . . . . . 6 (suc y (y ∪ {y}) ↔ (suc y y suc y {y}))
5 bj-nntrans 7320 . . . . . . . 8 (y 𝜔 → (suc y y → suc yy))
6 sucssel 4111 . . . . . . . 8 (y 𝜔 → (suc yyy y))
75, 6syld 40 . . . . . . 7 (y 𝜔 → (suc y yy y))
8 vex 2538 . . . . . . . . . 10 y V
98sucid 4103 . . . . . . . . 9 y suc y
10 elsni 3374 . . . . . . . . 9 (suc y {y} → suc y = y)
119, 10syl5eleq 2108 . . . . . . . 8 (suc y {y} → y y)
1211a1i 9 . . . . . . 7 (y 𝜔 → (suc y {y} → y y))
137, 12jaod 624 . . . . . 6 (y 𝜔 → ((suc y y suc y {y}) → y y))
144, 13syl5bi 141 . . . . 5 (y 𝜔 → (suc y (y ∪ {y}) → y y))
153, 14syl5bi 141 . . . 4 (y 𝜔 → (suc y suc yy y))
1615con3d 548 . . 3 (y 𝜔 → (¬ y y → ¬ suc y suc y))
1716rgen 2352 . 2 y 𝜔 (¬ y y → ¬ suc y suc y)
18 ax-bdel 7195 . . . 4 BOUNDED x x
1918ax-bdn 7191 . . 3 BOUNDED ¬ x x
20 nfv 1402 . . 3 x ¬ ∅
21 nfv 1402 . . 3 x ¬ y y
22 nfv 1402 . . 3 x ¬ suc y suc y
23 eleq1 2082 . . . . . 6 (x = ∅ → (x x ↔ ∅ x))
24 eleq2 2083 . . . . . 6 (x = ∅ → (∅ x ↔ ∅ ∅))
2523, 24bitrd 177 . . . . 5 (x = ∅ → (x x ↔ ∅ ∅))
2625notbid 579 . . . 4 (x = ∅ → (¬ x x ↔ ¬ ∅ ∅))
2726biimprd 147 . . 3 (x = ∅ → (¬ ∅ ∅ → ¬ x x))
28 elequ1 1582 . . . . . 6 (x = y → (x xy x))
29 elequ2 1583 . . . . . 6 (x = y → (y xy y))
3028, 29bitrd 177 . . . . 5 (x = y → (x xy y))
3130notbid 579 . . . 4 (x = y → (¬ x x ↔ ¬ y y))
3231biimpd 132 . . 3 (x = y → (¬ x x → ¬ y y))
33 eleq1 2082 . . . . . 6 (x = suc y → (x x ↔ suc y x))
34 eleq2 2083 . . . . . 6 (x = suc y → (suc y x ↔ suc y suc y))
3533, 34bitrd 177 . . . . 5 (x = suc y → (x x ↔ suc y suc y))
3635notbid 579 . . . 4 (x = suc y → (¬ x x ↔ ¬ suc y suc y))
3736biimprd 147 . . 3 (x = suc y → (¬ suc y suc y → ¬ x x))
38 nfcv 2160 . . 3 xA
39 nfv 1402 . . 3 x ¬ A A
40 eleq1 2082 . . . . . 6 (x = A → (x xA x))
41 eleq2 2083 . . . . . 6 (x = A → (A xA A))
4240, 41bitrd 177 . . . . 5 (x = A → (x xA A))
4342notbid 579 . . . 4 (x = A → (¬ x x ↔ ¬ A A))
4443biimpd 132 . . 3 (x = A → (¬ x x → ¬ A A))
4519, 20, 21, 22, 27, 32, 37, 38, 39, 44bj-bdfindisg 7317 . 2 ((¬ ∅ y 𝜔 (¬ y y → ¬ suc y suc y)) → (A 𝜔 → ¬ A A))
461, 17, 45mp2an 404 1 (A 𝜔 → ¬ A A)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4   wo 616   = wceq 1228   wcel 1374  wral 2284  cun 2892  wss 2894  c0 3201  {csn 3350  suc csuc 4051  𝜔com 4240
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-13 1385  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-nul 3857  ax-pr 3918  ax-un 4120  ax-bd0 7187  ax-bdor 7190  ax-bdn 7191  ax-bdal 7192  ax-bdex 7193  ax-bdeq 7194  ax-bdel 7195  ax-bdsb 7196  ax-bdsep 7258  ax-infvn 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-rab 2293  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-sn 3356  df-pr 3357  df-uni 3555  df-int 3590  df-suc 4057  df-iom 4241  df-bdc 7215  df-bj-ind 7297
This theorem is referenced by:  bj-nnen2lp  7323
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