ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  nnnn0addcl GIF version

Theorem nnnn0addcl 7988
Description: A positive integer plus a nonnegative integer is a positive integer. (Contributed by NM, 20-Apr-2005.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 16-May-2014.)
Assertion
Ref Expression
nnnn0addcl ((𝑀 𝑁 0) → (𝑀 + 𝑁) ℕ)

Proof of Theorem nnnn0addcl
StepHypRef Expression
1 elnn0 7959 . 2 (𝑁 0 ↔ (𝑁 𝑁 = 0))
2 nnaddcl 7715 . . 3 ((𝑀 𝑁 ℕ) → (𝑀 + 𝑁) ℕ)
3 oveq2 5463 . . . . 5 (𝑁 = 0 → (𝑀 + 𝑁) = (𝑀 + 0))
4 nncn 7703 . . . . . 6 (𝑀 ℕ → 𝑀 ℂ)
54addid1d 6959 . . . . 5 (𝑀 ℕ → (𝑀 + 0) = 𝑀)
63, 5sylan9eqr 2091 . . . 4 ((𝑀 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) = 𝑀)
7 simpl 102 . . . 4 ((𝑀 𝑁 = 0) → 𝑀 ℕ)
86, 7eqeltrd 2111 . . 3 ((𝑀 𝑁 = 0) → (𝑀 + 𝑁) ℕ)
92, 8jaodan 709 . 2 ((𝑀 (𝑁 𝑁 = 0)) → (𝑀 + 𝑁) ℕ)
101, 9sylan2b 271 1 ((𝑀 𝑁 0) → (𝑀 + 𝑁) ℕ)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   wo 628   = wceq 1242   wcel 1390  (class class class)co 5455  0cc0 6711   + caddc 6714  cn 7695  0cn0 7957
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-cnex 6774  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-1re 6777  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-rab 2309  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-int 3607  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-inn 7696  df-n0 7958
This theorem is referenced by:  nn0nnaddcl  7989  elz2  8088
  Copyright terms: Public domain W3C validator