ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fvimacnvi Structured version   GIF version

Theorem fvimacnvi 5202
Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
fvimacnvi ((Fun 𝐹 A (𝐹B)) → (𝐹A) B)

Proof of Theorem fvimacnvi
StepHypRef Expression
1 snssi 3478 . . 3 (A (𝐹B) → {A} ⊆ (𝐹B))
2 funimass2 4899 . . 3 ((Fun 𝐹 {A} ⊆ (𝐹B)) → (𝐹 “ {A}) ⊆ B)
31, 2sylan2 270 . 2 ((Fun 𝐹 A (𝐹B)) → (𝐹 “ {A}) ⊆ B)
4 cnvimass 4611 . . . . 5 (𝐹B) ⊆ dom 𝐹
54sseli 2914 . . . 4 (A (𝐹B) → A dom 𝐹)
6 funfvex 5113 . . . . 5 ((Fun 𝐹 A dom 𝐹) → (𝐹A) V)
7 snssg 3470 . . . . 5 ((𝐹A) V → ((𝐹A) B ↔ {(𝐹A)} ⊆ B))
86, 7syl 14 . . . 4 ((Fun 𝐹 A dom 𝐹) → ((𝐹A) B ↔ {(𝐹A)} ⊆ B))
95, 8sylan2 270 . . 3 ((Fun 𝐹 A (𝐹B)) → ((𝐹A) B ↔ {(𝐹A)} ⊆ B))
10 funfn 4853 . . . . . 6 (Fun 𝐹𝐹 Fn dom 𝐹)
11 fnsnfv 5153 . . . . . 6 ((𝐹 Fn dom 𝐹 A dom 𝐹) → {(𝐹A)} = (𝐹 “ {A}))
1210, 11sylanb 268 . . . . 5 ((Fun 𝐹 A dom 𝐹) → {(𝐹A)} = (𝐹 “ {A}))
135, 12sylan2 270 . . . 4 ((Fun 𝐹 A (𝐹B)) → {(𝐹A)} = (𝐹 “ {A}))
1413sseq1d 2945 . . 3 ((Fun 𝐹 A (𝐹B)) → ({(𝐹A)} ⊆ B ↔ (𝐹 “ {A}) ⊆ B))
159, 14bitrd 177 . 2 ((Fun 𝐹 A (𝐹B)) → ((𝐹A) B ↔ (𝐹 “ {A}) ⊆ B))
163, 15mpbird 156 1 ((Fun 𝐹 A (𝐹B)) → (𝐹A) B)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1226   wcel 1370  Vcvv 2531  wss 2890  {csn 3346  ccnv 4267  dom cdm 4268  cima 4271  Fun wfun 4819   Fn wfn 4820  cfv 4825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833
This theorem is referenced by:  fvimacnv  5203  elpreima  5207
  Copyright terms: Public domain W3C validator