Theorem fvimacnvi 5202

Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹‘A) ∈ B)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3478	. . 3 ⊢ (A ∈ (◡𝐹 “ B) → {A} ⊆ (◡𝐹 “ B))
2		funimass2 4899	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {A} ⊆ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹 “ {A}) ⊆ B)
3	1, 2	sylan2 270	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹 “ {A}) ⊆ B)
4		cnvimass 4611	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ B) ⊆ dom 𝐹
5	4	sseli 2914	. . . 4 ⊢ (A ∈ (◡𝐹 “ B) → A ∈ dom 𝐹)
6		funfvex 5113	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘A) ∈ V)
7		snssg 3470	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘A) ∈ V → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ {(𝐹‘A)} ⊆ B))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ {(𝐹‘A)} ⊆ B))
9	5, 8	sylan2 270	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ {(𝐹‘A)} ⊆ B))
10		funfn 4853	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
11		fnsnfv 5153	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
12	10, 11	sylanb 268	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
13	5, 12	sylan2 270	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
14	13	sseq1d 2945	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → ({(𝐹‘A)} ⊆ B ↔ (𝐹 “ {A}) ⊆ B))
15	9, 14	bitrd 177	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ (𝐹 “ {A}) ⊆ B))
16	3, 15	mpbird 156	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹‘A) ∈ B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  Vcvv 2531   ⊆ wss 2890  {csn 3346  ^◡ccnv 4267  dom cdm 4268   “ cima 4271  Fun wfun 4819   Fn wfn 4820  ‘cfv 4825

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833

This theorem is referenced by:  fvimacnv  5203  elpreima  5207