Theorem fvimacnvi 5224

Description: A member of a preimage is a function value argument. (Contributed by NM, 4-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
fvimacnvi	⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹‘A) ∈ B)

Proof of Theorem fvimacnvi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		snssi 3499	. . 3 ⊢ (A ∈ (◡𝐹 “ B) → {A} ⊆ (◡𝐹 “ B))
2		funimass2 4920	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ {A} ⊆ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹 “ {A}) ⊆ B)
3	1, 2	sylan2 270	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹 “ {A}) ⊆ B)
4		cnvimass 4631	. . . . 5 ⊢ (◡𝐹 “ B) ⊆ dom 𝐹
5	4	sseli 2935	. . . 4 ⊢ (A ∈ (◡𝐹 “ B) → A ∈ dom 𝐹)
6		funfvex 5135	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘A) ∈ V)
7		snssg 3491	. . . . 5 ⊢ ((𝐹‘A) ∈ V → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ {(𝐹‘A)} ⊆ B))
8	6, 7	syl 14	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ {(𝐹‘A)} ⊆ B))
9	5, 8	sylan2 270	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ {(𝐹‘A)} ⊆ B))
10		funfn 4874	. . . . . 6 ⊢ (Fun 𝐹 ↔ 𝐹 Fn dom 𝐹)
11		fnsnfv 5175	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn dom 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
12	10, 11	sylanb 268	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ dom 𝐹) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
13	5, 12	sylan2 270	. . . 4 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → {(𝐹‘A)} = (𝐹 “ {A}))
14	13	sseq1d 2966	. . 3 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → ({(𝐹‘A)} ⊆ B ↔ (𝐹 “ {A}) ⊆ B))
15	9, 14	bitrd 177	. 2 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → ((𝐹‘A) ∈ B ↔ (𝐹 “ {A}) ⊆ B))
16	3, 15	mpbird 156	1 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ A ∈ (◡𝐹 “ B)) → (𝐹‘A) ∈ B)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  Vcvv 2551   ⊆ wss 2911  {csn 3367  ^◡ccnv 4287  dom cdm 4288   “ cima 4291  Fun wfun 4839   Fn wfn 4840  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853

This theorem is referenced by:  fvimacnv  5225  elpreima  5229