ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  fnniniseg2 Structured version   GIF version

Theorem fnniniseg2 5211
Description: Support sets of functions expressed as abstractions. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
fnniniseg2 (𝐹 Fn A → (𝐹 “ (V ∖ {B})) = {x A ∣ (𝐹x) ≠ B})
Distinct variable groups:   x,A   x,𝐹   x,B

Proof of Theorem fnniniseg2
StepHypRef Expression
1 fncnvima2 5209 . 2 (𝐹 Fn A → (𝐹 “ (V ∖ {B})) = {x A ∣ (𝐹x) (V ∖ {B})})
2 funfvex 5113 . . . . . 6 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
32funfni 4921 . . . . 5 ((𝐹 Fn A x A) → (𝐹x) V)
43biantrurd 289 . . . 4 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) ≠ B ↔ ((𝐹x) V (𝐹x) ≠ B)))
5 eldifsn 3465 . . . 4 ((𝐹x) (V ∖ {B}) ↔ ((𝐹x) V (𝐹x) ≠ B))
64, 5syl6rbbr 188 . . 3 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) (V ∖ {B}) ↔ (𝐹x) ≠ B))
76rabbidva 2522 . 2 (𝐹 Fn A → {x A ∣ (𝐹x) (V ∖ {B})} = {x A ∣ (𝐹x) ≠ B})
81, 7eqtrd 2050 1 (𝐹 Fn A → (𝐹 “ (V ∖ {B})) = {x A ∣ (𝐹x) ≠ B})
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1226   wcel 1370  wne 2182  {crab 2284  Vcvv 2531  cdif 2887  {csn 3346  ccnv 4267  cima 4271   Fn wfn 4820  cfv 4825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-rab 2289  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator