Theorem rexsupp 5291

Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)

Assertion

Ref	Expression
rexsupp	⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐹   𝑥,𝐴

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝑍(𝑥)

Proof of Theorem rexsupp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elpreima 5286	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}))))
2		funfvex 5192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ 𝑥 ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
3	2	funfni 4999	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → (𝐹‘𝑥) ∈ V)
4	3	biantrurd 289	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
5		eldifsn 3495	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹‘𝑥) ∈ V ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
6	4, 5	syl6rbbr 188	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 Fn 𝐴 ∧ 𝑥 ∈ 𝐴) → ((𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍))
7	6	pm5.32da 425	. . . . 5 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ∈ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
8	1, 7	bitrd 177	. . . 4 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍)))
9	8	anbi1d 438	. . 3 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑)))
10		anass 381	. . 3 ⊢ (((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ (𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))
11	9, 10	syl6bb 185	. 2 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → ((𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ∧ 𝜑) ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑))))
12	11	rexbidv2 2329	1 ⊢ (𝐹 Fn 𝐴 → (∃𝑥 ∈ (◡𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))𝜑 ↔ ∃𝑥 ∈ 𝐴 ((𝐹‘𝑥) ≠ 𝑍 ∧ 𝜑)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∈ wcel 1393   ≠ wne 2204  ∃wrex 2307  Vcvv 2557   ∖ cdif 2914  {csn 3375  ^◡ccnv 4344   “ cima 4348   Fn wfn 4897  ‘cfv 4902

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ne 2206  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-sbc 2765  df-dif 2920  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-co 4354  df-dm 4355  df-rn 4356  df-res 4357  df-ima 4358  df-iota 4867  df-fun 4904  df-fn 4905  df-fv 4910

This theorem is referenced by: (None)