ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsupp Structured version   GIF version

Theorem rexsupp 5212
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))φx A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ)))
Distinct variable groups:   x,𝐹   x,A
Allowed substitution hints:   φ(x)   𝑍(x)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elpreima 5207 . . . . 5 (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (x A (𝐹x) (V ∖ {𝑍}))))
2 funfvex 5113 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
32funfni 4921 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn A x A) → (𝐹x) V)
43biantrurd 289 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹x) V (𝐹x) ≠ 𝑍)))
5 eldifsn 3465 . . . . . . 7 ((𝐹x) (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹x) V (𝐹x) ≠ 𝑍))
64, 5syl6rbbr 188 . . . . . 6 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹x) ≠ 𝑍))
76pm5.32da 428 . . . . 5 (𝐹 Fn A → ((x A (𝐹x) (V ∖ {𝑍})) ↔ (x A (𝐹x) ≠ 𝑍)))
81, 7bitrd 177 . . . 4 (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (x A (𝐹x) ≠ 𝑍)))
98anbi1d 441 . . 3 (𝐹 Fn A → ((x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) φ) ↔ ((x A (𝐹x) ≠ 𝑍) φ)))
10 anass 383 . . 3 (((x A (𝐹x) ≠ 𝑍) φ) ↔ (x A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ)))
119, 10syl6bb 185 . 2 (𝐹 Fn A → ((x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) φ) ↔ (x A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ))))
1211rexbidv2 2303 1 (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))φx A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1370  wne 2182  wrex 2281  Vcvv 2531  cdif 2887  {csn 3346  ccnv 4267  cima 4271   Fn wfn 4820  cfv 4825
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-14 1382  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-sep 3845  ax-pow 3897  ax-pr 3914
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-eu 1881  df-mo 1882  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ne 2184  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-sbc 2738  df-dif 2893  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-pw 3332  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-opab 3789  df-id 4000  df-xp 4274  df-rel 4275  df-cnv 4276  df-co 4277  df-dm 4278  df-rn 4279  df-res 4280  df-ima 4281  df-iota 4790  df-fun 4827  df-fn 4828  df-fv 4833
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator