ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  rexsupp Structured version   GIF version

Theorem rexsupp 5234
Description: Existential quantification restricted to a support. (Contributed by Stefan O'Rear, 23-Mar-2015.)
Assertion
Ref Expression
rexsupp (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))φx A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ)))
Distinct variable groups:   x,𝐹   x,A
Allowed substitution hints:   φ(x)   𝑍(x)

Proof of Theorem rexsupp
StepHypRef Expression
1 elpreima 5229 . . . . 5 (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (x A (𝐹x) (V ∖ {𝑍}))))
2 funfvex 5135 . . . . . . . . 9 ((Fun 𝐹 x dom 𝐹) → (𝐹x) V)
32funfni 4942 . . . . . . . 8 ((𝐹 Fn A x A) → (𝐹x) V)
43biantrurd 289 . . . . . . 7 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) ≠ 𝑍 ↔ ((𝐹x) V (𝐹x) ≠ 𝑍)))
5 eldifsn 3486 . . . . . . 7 ((𝐹x) (V ∖ {𝑍}) ↔ ((𝐹x) V (𝐹x) ≠ 𝑍))
64, 5syl6rbbr 188 . . . . . 6 ((𝐹 Fn A x A) → ((𝐹x) (V ∖ {𝑍}) ↔ (𝐹x) ≠ 𝑍))
76pm5.32da 425 . . . . 5 (𝐹 Fn A → ((x A (𝐹x) (V ∖ {𝑍})) ↔ (x A (𝐹x) ≠ 𝑍)))
81, 7bitrd 177 . . . 4 (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) ↔ (x A (𝐹x) ≠ 𝑍)))
98anbi1d 438 . . 3 (𝐹 Fn A → ((x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) φ) ↔ ((x A (𝐹x) ≠ 𝑍) φ)))
10 anass 381 . . 3 (((x A (𝐹x) ≠ 𝑍) φ) ↔ (x A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ)))
119, 10syl6bb 185 . 2 (𝐹 Fn A → ((x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍})) φ) ↔ (x A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ))))
1211rexbidv2 2323 1 (𝐹 Fn A → (x (𝐹 “ (V ∖ {𝑍}))φx A ((𝐹x) ≠ 𝑍 φ)))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wcel 1390  wne 2201  wrex 2301  Vcvv 2551  cdif 2908  {csn 3367  ccnv 4287  cima 4291   Fn wfn 4840  cfv 4845
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ne 2203  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator