Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | cnre 6821 |
. 2
⊢ (A ∈ ℂ →
∃𝑎 ∈ ℝ
∃𝑏 ∈ ℝ
A = (𝑎 + (i · 𝑏))) |
2 | | cnegexlem2 6984 |
. . . . 5
⊢ ∃y ∈ ℝ (i · y) ∈
ℝ |
3 | | cnegexlem3 6985 |
. . . . . . . 8
⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧
y ∈
ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ
(𝑏 + 𝑐) = y) |
4 | 3 | ad2ant2lr 479 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
→ ∃𝑐 ∈ ℝ
(𝑏 + 𝑐) = y) |
5 | | ax-icn 6778 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ i ∈ ℂ |
6 | | recn 6812 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈
ℂ) |
7 | | mulcl 6806 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈
ℂ) |
8 | 5, 6, 7 | sylancr 393 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑐 ∈ ℝ → (i · 𝑐) ∈
ℂ) |
9 | | recn 6812 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (𝑑 ∈ ℝ → 𝑑 ∈
ℂ) |
10 | | addcl 6804 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((i
· 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈
ℂ) |
11 | 8, 9, 10 | syl2an 273 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈
ℂ) |
12 | 11 | adantlr 446 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
→ ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ) |
13 | 12 | adantll 445 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
→ ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ) |
14 | 13 | adantr 261 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
∧ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈
ℂ) |
15 | | recn 6812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈
ℂ) |
16 | | recn 6812 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈
ℂ) |
17 | 15, 16 | anim12i 321 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℂ
∧ 𝑏 ∈
ℂ)) |
18 | 17, 6 | anim12i 321 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 ∈ ℂ
∧ 𝑏 ∈ ℂ)
∧ 𝑐 ∈
ℂ)) |
19 | | mulcl 6806 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈
ℂ) |
20 | 5, 19 | mpan 400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈
ℂ) |
21 | | addcl 6804 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i
· 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈
ℂ) |
22 | 20, 21 | sylan2 270 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈
ℂ) |
23 | 22 | ad2antrr 457 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈
ℂ) |
24 | 5, 7 | mpan 400 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑐 ∈ ℂ → (i · 𝑐) ∈
ℂ) |
25 | 24 | ad2antlr 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈
ℂ) |
26 | | simpr 103 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → 𝑑 ∈
ℂ) |
27 | 23, 25, 26 | addassd 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑))) |
28 | | simpll 481 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈
ℂ) |
29 | 20 | ad2antlr 458 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈
ℂ) |
30 | 24 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈
ℂ) |
31 | 28, 29, 30 | addassd 6847 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))) |
32 | | adddi 6811 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))) |
33 | 5, 32 | mp3an1 1218 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))) |
34 | 33 | adantll 445 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))) |
35 | 34 | oveq2d 5471 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))) |
36 | 31, 35 | eqtr4d 2072 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐)))) |
37 | 36 | adantr 261 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐)))) |
38 | 37 | oveq1d 5470 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑)) |
39 | 27, 38 | eqtr3d 2071 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑)) |
40 | 18, 9, 39 | syl2an 273 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑)) |
41 | 40 | adantlrr 452 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
→ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑)) |
42 | | oveq2 5463 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝑏 + 𝑐) = y
→ (i · (𝑏 + 𝑐)) = (i · y)) |
43 | 42 | oveq2d 5471 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((𝑏 + 𝑐) = y
→ (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + (i · y))) |
44 | 43 | oveq1d 5470 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝑏 + 𝑐) = y
→ ((𝑎 + (i ·
(𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑)) |
45 | 44 | adantl 262 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)
→ ((𝑎 + (i ·
(𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑)) |
46 | 45 | ad2antlr 458 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
→ ((𝑎 + (i ·
(𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑)) |
47 | 41, 46 | eqtr2d 2070 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
→ ((𝑎 + (i ·
y)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑))) |
48 | 47 | adantllr 450 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
→ ((𝑎 + (i ·
y)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑))) |
49 | 48 | eqeq1d 2045 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
→ (((𝑎 + (i ·
y)) + 𝑑) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0)) |
50 | 49 | biimpa 280 |
. . . . . . . . 9
⊢
((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
∧ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0) |
51 | | oveq2 5463 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (x = ((i · 𝑐) + 𝑑) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) =
((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑))) |
52 | 51 | eqeq1d 2045 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (x = ((i · 𝑐) + 𝑑) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) =
0 ↔ ((𝑎 + (i ·
𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0)) |
53 | 52 | rspcev 2650 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((i
· 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ
∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) =
0) |
54 | 14, 50, 53 | syl2anc 391 |
. . . . . . . 8
⊢
((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
∧ 𝑑 ∈ ℝ)
∧ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) =
0) |
55 | | readdcl 6805 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i
· y) ∈ ℝ) → (𝑎 + (i · y)) ∈
ℝ) |
56 | | ax-rnegex 6792 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((𝑎 + (i · y)) ∈ ℝ
→ ∃𝑑 ∈ ℝ
((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) |
57 | 55, 56 | syl 14 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i
· y) ∈ ℝ) → ∃𝑑 ∈ ℝ
((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) |
58 | 57 | ad2ant2rl 480 |
. . . . . . . . 9
⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
→ ∃𝑑 ∈ ℝ
((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) |
59 | 58 | adantr 261 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
→ ∃𝑑 ∈ ℝ
((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) |
60 | 54, 59 | r19.29a 2448 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
∧ (𝑐 ∈ ℝ
∧ (𝑏 + 𝑐) = y))
→ ∃x ∈ ℂ
((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0) |
61 | 4, 60 | rexlimddv 2431 |
. . . . . 6
⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧
(y ∈
ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ))
→ ∃x ∈ ℂ
((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0) |
62 | 61 | rexlimdvaa 2428 |
. . . . 5
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃y ∈ ℝ (i · y) ∈ ℝ
→ ∃x ∈ ℂ
((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0)) |
63 | 2, 62 | mpi 15 |
. . . 4
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) =
0) |
64 | | oveq1 5462 |
. . . . . 6
⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A + x) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x)) |
65 | 64 | eqeq1d 2045 |
. . . . 5
⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((A + x) = 0
↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0)) |
66 | 65 | rexbidv 2321 |
. . . 4
⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃x ∈ ℂ (A +
x) = 0 ↔ ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) =
0)) |
67 | 63, 66 | syl5ibrcom 146 |
. . 3
⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃x ∈ ℂ (A +
x) = 0)) |
68 | 67 | rexlimivv 2432 |
. 2
⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ
∃𝑏 ∈ ℝ
A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃x ∈ ℂ (A +
x) = 0) |
69 | 1, 68 | syl 14 |
1
⊢ (A ∈ ℂ →
∃x ∈ ℂ (A +
x) = 0) |