Theorem cnegex 6791

Description: Existence of the negative of a complex number. (Contributed by Eric Schmidt, 21-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegex	⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℂ (A + x) = 0)

Distinct variable group:   x,A

Proof of Theorem cnegex

Dummy variables 𝑎 𝑏 𝑐 𝑑 y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cnre 6626	. 2 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ A = (𝑎 + (i · 𝑏)))
2		cnegexlem2 6789	. . . . 5 ⊢ ∃y ∈ ℝ (i · y) ∈ ℝ
3		cnegexlem3 6790	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)
4	3	ad2ant2lr 467	. . . . . . 7 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)
5		ax-icn 6585	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ i ∈ ℂ
6		recn 6617	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℂ)
7		mulcl 6611	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
8	5, 6, 7	sylancr 395	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
9		recn 6617	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (𝑑 ∈ ℝ → 𝑑 ∈ ℂ)
10		addcl 6609	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((i · 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
11	8, 9, 10	syl2an 273	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
12	11	adantlr 449	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
13	12	adantll 448	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
14	13	adantr 261	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) → ((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ)
15		recn 6617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑎 ∈ ℝ → 𝑎 ∈ ℂ)
16		recn 6617	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
17	15, 16	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ))
18	17, 6	anim12i 321	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ))
19		mulcl 6611	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
20	5, 19	mpan 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑏 ∈ ℂ → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
21		addcl 6609	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ (i · 𝑏) ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
22	20, 21	sylan2 270	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ ((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
23	22	ad2antrr 460	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · 𝑏)) ∈ ℂ)
24	5, 7	mpan 402	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑐 ∈ ℂ → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
25	24	ad2antlr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
26		simpr 103	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → 𝑑 ∈ ℂ)
27	23, 25, 26	addassd 6652	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
28		simpll 469	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑎 ∈ ℂ)
29	20	ad2antlr 462	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑏) ∈ ℂ)
30	24	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · 𝑐) ∈ ℂ)
31	28, 29, 30	addassd 6652	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))))
32		adddi 6616	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22 ⊢ ((i ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
33	5, 32	mp3an1 1202	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
34	33	adantll 448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (i · (𝑏 + 𝑐)) = ((i · 𝑏) + (i · 𝑐)))
35	34	oveq2d 5448	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + ((i · 𝑏) + (i · 𝑐))))
36	31, 35	eqtr4d 2053	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))))
37	36	adantr 261	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) = (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))))
38	37	oveq1d 5447	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + (i · 𝑐)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
39	27, 38	eqtr3d 2052	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℂ ∧ 𝑏 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑑 ∈ ℂ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
40	18, 9, 39	syl2an 273	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
41	40	adantlrr 455	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑))
42		oveq2 5440	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = y → (i · (𝑏 + 𝑐)) = (i · y))
43	42	oveq2d 5448	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = y → (𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) = (𝑎 + (i · y)))
44	43	oveq1d 5447	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝑏 + 𝑐) = y → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑))
45	44	adantl 262	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y) → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑))
46	45	ad2antlr 462	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · (𝑏 + 𝑐))) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑))
47	41, 46	eqtr2d 2051	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
48	47	adantllr 453	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
49	48	eqeq1d 2026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) → (((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0))
50	49	biimpa 280	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0)
51		oveq2 5440	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (x = ((i · 𝑐) + 𝑑) → ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)))
52	51	eqeq1d 2026	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x = ((i · 𝑐) + 𝑑) → (((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0))
53	52	rspcev 2629	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((i · 𝑐) + 𝑑) ∈ ℂ ∧ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + ((i · 𝑐) + 𝑑)) = 0) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0)
54	14, 50, 53	syl2anc 393	. . . . . . . 8 ⊢ ((((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) ∧ 𝑑 ∈ ℝ) ∧ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0)
55		readdcl 6610	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ) → (𝑎 + (i · y)) ∈ ℝ)
56		ax-rnegex 6599	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑎 + (i · y)) ∈ ℝ → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0)
57	55, 56	syl 14	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0)
58	57	ad2ant2rl 468	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0)
59	58	adantr 261	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) → ∃𝑑 ∈ ℝ ((𝑎 + (i · y)) + 𝑑) = 0)
60	54, 59	r19.29a 2428	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) ∧ (𝑐 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) = y)) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0)
61	4, 60	rexlimddv 2411	. . . . . 6 ⊢ (((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) ∧ (y ∈ ℝ ∧ (i · y) ∈ ℝ)) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0)
62	61	rexlimdvaa 2408	. . . . 5 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (∃y ∈ ℝ (i · y) ∈ ℝ → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0))
63	2, 62	mpi 15	. . . 4 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0)
64		oveq1 5439	. . . . . 6 ⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (A + x) = ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x))
65	64	eqeq1d 2026	. . . . 5 ⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ((A + x) = 0 ↔ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0))
66	65	rexbidv 2301	. . . 4 ⊢ (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → (∃x ∈ ℂ (A + x) = 0 ↔ ∃x ∈ ℂ ((𝑎 + (i · 𝑏)) + x) = 0))
67	63, 66	syl5ibrcom 146	. . 3 ⊢ ((𝑎 ∈ ℝ ∧ 𝑏 ∈ ℝ) → (A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃x ∈ ℂ (A + x) = 0))
68	67	rexlimivv 2412	. 2 ⊢ (∃𝑎 ∈ ℝ ∃𝑏 ∈ ℝ A = (𝑎 + (i · 𝑏)) → ∃x ∈ ℂ (A + x) = 0)
69	1, 68	syl 14	1 ⊢ (A ∈ ℂ → ∃x ∈ ℂ (A + x) = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   = wceq 1226   ∈ wcel 1370  ∃wrex 2281  (class class class)co 5432  ℂcc 6522  ℝcr 6523  0cc0 6524  ici 6526   + caddc 6527   · cmul 6529

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1312  ax-7 1313  ax-gen 1314  ax-ie1 1359  ax-ie2 1360  ax-8 1372  ax-10 1373  ax-11 1374  ax-i12 1375  ax-bnd 1376  ax-4 1377  ax-17 1396  ax-i9 1400  ax-ial 1405  ax-i5r 1406  ax-ext 2000  ax-resscn 6582  ax-1cn 6583  ax-icn 6585  ax-addcl 6586  ax-addrcl 6587  ax-mulcl 6588  ax-addcom 6590  ax-addass 6592  ax-distr 6594  ax-i2m1 6595  ax-0id 6598  ax-rnegex 6599  ax-cnre 6601

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 873  df-tru 1229  df-nf 1326  df-sb 1624  df-clab 2005  df-cleq 2011  df-clel 2014  df-nfc 2145  df-ral 2285  df-rex 2286  df-v 2533  df-un 2895  df-in 2897  df-ss 2904  df-sn 3352  df-pr 3353  df-op 3355  df-uni 3551  df-br 3735  df-iota 4790  df-fv 4833  df-ov 5435

This theorem is referenced by:  cnegex2  6792  addcan2  6794  0cnALT  6803  negeu  6804