ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  cnegexlem3 GIF version

Theorem cnegexlem3 6985
Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 6986. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)
Assertion
Ref Expression
cnegexlem3 ((𝑏 y ℝ) → 𝑐 ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)
Distinct variable group:   𝑏,𝑐,y

Proof of Theorem cnegexlem3
Dummy variable x is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 readdcl 6805 . . . . . 6 ((𝑏 x ℝ) → (𝑏 + x) ℝ)
2 ax-rnegex 6792 . . . . . 6 ((𝑏 + x) ℝ → 𝑐 ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
31, 2syl 14 . . . . 5 ((𝑏 x ℝ) → 𝑐 ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
43adantlr 446 . . . 4 (((𝑏 y ℝ) x ℝ) → 𝑐 ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
54adantr 261 . . 3 ((((𝑏 y ℝ) x ℝ) (y + x) = 0) → 𝑐 ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
6 recn 6812 . . . . . . . 8 (𝑏 ℝ → 𝑏 ℂ)
7 recn 6812 . . . . . . . 8 (y ℝ → y ℂ)
86, 7anim12i 321 . . . . . . 7 ((𝑏 y ℝ) → (𝑏 y ℂ))
98anim1i 323 . . . . . 6 (((𝑏 y ℝ) x ℝ) → ((𝑏 y ℂ) x ℝ))
109anim1i 323 . . . . 5 ((((𝑏 y ℝ) x ℝ) (y + x) = 0) → (((𝑏 y ℂ) x ℝ) (y + x) = 0))
11 recn 6812 . . . . 5 (𝑐 ℝ → 𝑐 ℂ)
12 recn 6812 . . . . . . . . . 10 (x ℝ → x ℂ)
13 add32 6967 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑏 x 𝑐 ℂ) → ((𝑏 + x) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + x))
14133expa 1103 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 x ℂ) 𝑐 ℂ) → ((𝑏 + x) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + x))
15 addcl 6804 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑏 𝑐 ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ℂ)
16 addcom 6947 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝑏 + 𝑐) x ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + x) = (x + (𝑏 + 𝑐)))
1715, 16sylan 267 . . . . . . . . . . . 12 (((𝑏 𝑐 ℂ) x ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + x) = (x + (𝑏 + 𝑐)))
1817an32s 502 . . . . . . . . . . 11 (((𝑏 x ℂ) 𝑐 ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + x) = (x + (𝑏 + 𝑐)))
1914, 18eqtr2d 2070 . . . . . . . . . 10 (((𝑏 x ℂ) 𝑐 ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
2012, 19sylanl2 383 . . . . . . . . 9 (((𝑏 x ℝ) 𝑐 ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
2120adantllr 450 . . . . . . . 8 ((((𝑏 y ℂ) x ℝ) 𝑐 ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
2221adantlr 446 . . . . . . 7 (((((𝑏 y ℂ) x ℝ) (y + x) = 0) 𝑐 ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
23 addcom 6947 . . . . . . . . . . . 12 ((x y ℂ) → (x + y) = (y + x))
2423ancoms 255 . . . . . . . . . . 11 ((y x ℂ) → (x + y) = (y + x))
2512, 24sylan2 270 . . . . . . . . . 10 ((y x ℝ) → (x + y) = (y + x))
26 id 19 . . . . . . . . . 10 ((y + x) = 0 → (y + x) = 0)
2725, 26sylan9eq 2089 . . . . . . . . 9 (((y x ℝ) (y + x) = 0) → (x + y) = 0)
2827adantlll 449 . . . . . . . 8 ((((𝑏 y ℂ) x ℝ) (y + x) = 0) → (x + y) = 0)
2928adantr 261 . . . . . . 7 (((((𝑏 y ℂ) x ℝ) (y + x) = 0) 𝑐 ℂ) → (x + y) = 0)
3022, 29eqeq12d 2051 . . . . . 6 (((((𝑏 y ℂ) x ℝ) (y + x) = 0) 𝑐 ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0))
31 simplr 482 . . . . . . . 8 ((((𝑏 y ℂ) x ℝ) 𝑐 ℂ) → x ℝ)
3215adantlr 446 . . . . . . . . 9 (((𝑏 y ℂ) 𝑐 ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ℂ)
3332adantlr 446 . . . . . . . 8 ((((𝑏 y ℂ) x ℝ) 𝑐 ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ℂ)
34 simpllr 486 . . . . . . . 8 ((((𝑏 y ℂ) x ℝ) 𝑐 ℂ) → y ℂ)
35 cnegexlem1 6983 . . . . . . . 8 ((x (𝑏 + 𝑐) y ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
3631, 33, 34, 35syl3anc 1134 . . . . . . 7 ((((𝑏 y ℂ) x ℝ) 𝑐 ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
3736adantlr 446 . . . . . 6 (((((𝑏 y ℂ) x ℝ) (y + x) = 0) 𝑐 ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
3830, 37bitr3d 179 . . . . 5 (((((𝑏 y ℂ) x ℝ) (y + x) = 0) 𝑐 ℂ) → (((𝑏 + x) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
3910, 11, 38syl2an 273 . . . 4 (((((𝑏 y ℝ) x ℝ) (y + x) = 0) 𝑐 ℝ) → (((𝑏 + x) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
4039rexbidva 2317 . . 3 ((((𝑏 y ℝ) x ℝ) (y + x) = 0) → (𝑐 ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0 ↔ 𝑐 ℝ (𝑏 + 𝑐) = y))
415, 40mpbid 135 . 2 ((((𝑏 y ℝ) x ℝ) (y + x) = 0) → 𝑐 ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)
42 ax-rnegex 6792 . . 3 (y ℝ → x ℝ (y + x) = 0)
4342adantl 262 . 2 ((𝑏 y ℝ) → x ℝ (y + x) = 0)
4441, 43r19.29a 2448 1 ((𝑏 y ℝ) → 𝑐 ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   = wceq 1242   wcel 1390  wrex 2301  (class class class)co 5455  cc 6709  cr 6710  0cc0 6711   + caddc 6714
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458
This theorem is referenced by:  cnegex  6986
  Copyright terms: Public domain W3C validator