Theorem cnegexlem3 7188

Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 7189. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem3	⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)

Distinct variable group:   𝑏,𝑐,𝑦

Proof of Theorem cnegexlem3

Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 7007	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑏 + 𝑥) ∈ ℝ)
2		ax-rnegex 6993	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 + 𝑥) ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
4	3	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
5	4	adantr 261	. . 3 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0)
6		recn 7014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7		recn 7014	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → 𝑦 ∈ ℂ)
8	6, 7	anim12i 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ))
9	8	anim1i 323	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ))
10	9	anim1i 323	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0))
11		recn 7014	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℂ)
12		recn 7014	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ → 𝑥 ∈ ℂ)
13		add32 7170	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥))
14	13	3expa 1104	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥))
15		addcl 7006	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
16		addcom 7150	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
17	15, 16	sylan 267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
18	17	an32s 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + 𝑥) = (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)))
19	14, 18	eqtr2d 2073	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
20	12, 19	sylanl2 383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
21	20	adantllr 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
22	21	adantlr 446	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐))
23		addcom 7150	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑥 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
24	23	ancoms 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
25	12, 24	sylan2 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) → (𝑥 + 𝑦) = (𝑦 + 𝑥))
26		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 + 𝑥) = 0 → (𝑦 + 𝑥) = 0)
27	25, 26	sylan9eq 2092	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑦 ∈ ℂ ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
28	27	adantlll 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
29	28	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑥 + 𝑦) = 0)
30	22, 29	eqeq12d 2054	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0))
31		simplr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑥 ∈ ℝ)
32	15	adantlr 446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
33	32	adantlr 446	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
34		simpllr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → 𝑦 ∈ ℂ)
35		cnegexlem1 7186	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1135	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
37	36	adantlr 446	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑥 + (𝑏 + 𝑐)) = (𝑥 + 𝑦) ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
38	30, 37	bitr3d 179	. . . . 5 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑦 ∈ ℂ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
39	10, 11, 38	syl2an 273	. . . 4 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
40	39	rexbidva 2323	. . 3 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → (∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + 𝑥) + 𝑐) = 0 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦))
41	5, 40	mpbid 135	. 2 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) ∧ 𝑥 ∈ ℝ) ∧ (𝑦 + 𝑥) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)
42		ax-rnegex 6993	. . 3 ⊢ (𝑦 ∈ ℝ → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑥) = 0)
43	42	adantl 262	. 2 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑥 ∈ ℝ (𝑦 + 𝑥) = 0)
44	41, 43	r19.29a 2454	1 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = 𝑦)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1243   ∈ wcel 1393  ∃wrex 2307  (class class class)co 5512  ℂcc 6887  ℝcr 6888  0cc0 6889   + caddc 6892

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-resscn 6976  ax-1cn 6977  ax-icn 6979  ax-addcl 6980  ax-addrcl 6981  ax-mulcl 6982  ax-addcom 6984  ax-addass 6986  ax-i2m1 6989  ax-0id 6992  ax-rnegex 6993

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-iota 4867  df-fv 4910  df-ov 5515

This theorem is referenced by:  cnegex  7189