Theorem cnegexlem3 6985

Description: Existence of real number difference. Lemma for cnegex 6986. (Contributed by Eric Schmidt, 22-May-2007.)

Assertion

Ref	Expression
cnegexlem3	⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)

Distinct variable group:   𝑏,𝑐,y

Proof of Theorem cnegexlem3

Dummy variable x is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		readdcl 6805	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → (𝑏 + x) ∈ ℝ)
2		ax-rnegex 6792	. . . . . 6 ⊢ ((𝑏 + x) ∈ ℝ → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
3	1, 2	syl 14	. . . . 5 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ x ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
4	3	adantlr 446	. . . 4 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ x ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
5	4	adantr 261	. . 3 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0)
6		recn 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑏 ∈ ℝ → 𝑏 ∈ ℂ)
7		recn 6812	. . . . . . . 8 ⊢ (y ∈ ℝ → y ∈ ℂ)
8	6, 7	anim12i 321	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → (𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ))
9	8	anim1i 323	. . . . . 6 ⊢ (((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ x ∈ ℝ) → ((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ))
10	9	anim1i 323	. . . . 5 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) → (((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0))
11		recn 6812	. . . . 5 ⊢ (𝑐 ∈ ℝ → 𝑐 ∈ ℂ)
12		recn 6812	. . . . . . . . . 10 ⊢ (x ∈ ℝ → x ∈ ℂ)
13		add32 6967	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + x) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + x))
14	13	3expa 1103	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + x) + 𝑐) = ((𝑏 + 𝑐) + x))
15		addcl 6804	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
16		addcom 6947	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + x) = (x + (𝑏 + 𝑐)))
17	15, 16	sylan 267	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ 𝑐 ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + x) = (x + (𝑏 + 𝑐)))
18	17	an32s 502	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((𝑏 + 𝑐) + x) = (x + (𝑏 + 𝑐)))
19	14, 18	eqtr2d 2070	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
20	12, 19	sylanl2 383	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ x ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
21	20	adantllr 450	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
22	21	adantlr 446	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (x + (𝑏 + 𝑐)) = ((𝑏 + x) + 𝑐))
23		addcom 6947	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((x ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → (x + y) = (y + x))
24	23	ancoms 255	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ x ∈ ℂ) → (x + y) = (y + x))
25	12, 24	sylan2 270	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y ∈ ℂ ∧ x ∈ ℝ) → (x + y) = (y + x))
26		id 19	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((y + x) = 0 → (y + x) = 0)
27	25, 26	sylan9eq 2089	. . . . . . . . 9 ⊢ (((y ∈ ℂ ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) → (x + y) = 0)
28	27	adantlll 449	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) → (x + y) = 0)
29	28	adantr 261	. . . . . . 7 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (x + y) = 0)
30	22, 29	eqeq12d 2051	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0))
31		simplr 482	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → x ∈ ℝ)
32	15	adantlr 446	. . . . . . . . 9 ⊢ (((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
33	32	adantlr 446	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ)
34		simpllr 486	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → y ∈ ℂ)
35		cnegexlem1 6983	. . . . . . . 8 ⊢ ((x ∈ ℝ ∧ (𝑏 + 𝑐) ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
36	31, 33, 34, 35	syl3anc 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
37	36	adantlr 446	. . . . . 6 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → ((x + (𝑏 + 𝑐)) = (x + y) ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
38	30, 37	bitr3d 179	. . . . 5 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℂ ∧ y ∈ ℂ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℂ) → (((𝑏 + x) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
39	10, 11, 38	syl2an 273	. . . 4 ⊢ (((((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) ∧ 𝑐 ∈ ℝ) → (((𝑏 + x) + 𝑐) = 0 ↔ (𝑏 + 𝑐) = y))
40	39	rexbidva 2317	. . 3 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) → (∃𝑐 ∈ ℝ ((𝑏 + x) + 𝑐) = 0 ↔ ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = y))
41	5, 40	mpbid 135	. 2 ⊢ ((((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) ∧ x ∈ ℝ) ∧ (y + x) = 0) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)
42		ax-rnegex 6792	. . 3 ⊢ (y ∈ ℝ → ∃x ∈ ℝ (y + x) = 0)
43	42	adantl 262	. 2 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ∃x ∈ ℝ (y + x) = 0)
44	41, 43	r19.29a 2448	1 ⊢ ((𝑏 ∈ ℝ ∧ y ∈ ℝ) → ∃𝑐 ∈ ℝ (𝑏 + 𝑐) = y)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   = wceq 1242   ∈ wcel 1390  ∃wrex 2301  (class class class)co 5455  ℂcc 6709  ℝcr 6710  0cc0 6711   + caddc 6714

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-resscn 6775  ax-1cn 6776  ax-icn 6778  ax-addcl 6779  ax-addrcl 6780  ax-mulcl 6781  ax-addcom 6783  ax-addass 6785  ax-i2m1 6788  ax-0id 6791  ax-rnegex 6792

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458

This theorem is referenced by:  cnegex  6986