ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  th3qlem2 Unicode version

Theorem th3qlem2 6145
Description: Lemma for Exercise 44 version of Theorem 3Q of [Enderton] p. 60, extended to operations on ordered pairs. The fourth hypothesis is the compatibility assumption. (Contributed by NM, 4-Aug-1995.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Aug-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
th3q.1  .~  _V
th3q.2  .~  Er  S  X.  S
th3q.4  S  S  S  t  S  s  S  S  S  h  S  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  <. s , 
>.  .~  <. ,  h >.  <. ,  >.  .+  <. s ,  >.  .~  <. ,  t
>.  .+  <. ,  h >.
Assertion
Ref Expression
th3qlem2  S  X.  S
/.  .~  S  X.  S /.  .~  t  <. ,  >. 
.~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  >.  .+ 
<. ,  t >.  .~
Distinct variable groups:   ,,,, t, s,,, h,  .~   , S,,,, t, s,,, h   ,,,,, t, s,   ,,,,, t, s,   ,  .+ ,,,, t, s,,, h
Allowed substitution hints:   (, h)   (, h)

Proof of Theorem th3qlem2
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 th3q.2 . . 3  .~  Er  S  X.  S
2 eqid 2037 . . . . 5  S  X.  S  S  X.  S
3 breq1 3758 . . . . . . . 8  <. ,  >.  s  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  s  .~  <. ,  t >.
43anbi1d 438 . . . . . . 7  <. ,  >.  s  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  s  .~  <. ,  t
>.  .~
5 oveq1 5462 . . . . . . . 8  <. ,  >.  s  <. , 
>.  .+  s  .+
65breq1d 3765 . . . . . . 7  <. ,  >.  s  <. ,  >.  .+ 
.~  <. ,  t >.  .+  s  .+  .~  <. ,  t >.  .+
74, 6imbi12d 223 . . . . . 6  <. ,  >.  s  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. ,  >.  .+  .~  <. ,  t >.  .+  s  .~  <. ,  t >.  .~ 
s  .+  .~  <. ,  t
>.  .+
87imbi2d 219 . . . . 5  <. ,  >.  s  S  X.  S  S  X.  S  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  >.  .+ 
.~  <. ,  t >.  .+  S  X.  S  S  X.  S  s  .~  <. ,  t >.  .~ 
s  .+  .~  <. ,  t
>.  .+
9 breq2 3759 . . . . . . . 8  <. ,  t >.  s  .~  <. ,  t >.  s  .~
109anbi1d 438 . . . . . . 7  <. ,  t >.  s  .~  <. ,  t >.  .~  s  .~  .~
11 oveq1 5462 . . . . . . . 8  <. ,  t >.  <. ,  t
>.  .+  .+
1211breq2d 3767 . . . . . . 7  <. ,  t >.  s  .+  .~  <. ,  t >.  .+  s 
.+  .~  .+
1310, 12imbi12d 223 . . . . . 6  <. ,  t >.  s  .~  <. ,  t
>.  .~  s  .+  .~  <. ,  t >.  .+  s  .~  .~  s  .+ 
.~  .+
1413imbi2d 219 . . . . 5  <. ,  t >.  S  X.  S  S  X.  S  s  .~  <. ,  t >.  .~ 
s  .+  .~  <. ,  t
>.  .+  S  X.  S  S  X.  S  s  .~  .~  s  .+  .~  .+
15 breq1 3758 . . . . . . . . . 10  <. s ,  >.  <. s , 
>.  .~  <. ,  h >.  .~  <. ,  h >.
1615anbi2d 437 . . . . . . . . 9  <. s ,  >.  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  <. s ,  >.  .~  <. ,  h >.  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  h >.
17 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10  <. s ,  >.  <. , 
>.  .+  <. s , 
>.  <. ,  >.  .+
1817breq1d 3765 . . . . . . . . 9  <. s ,  >.  <. ,  >.  .+  <. s ,  >.  .~  <. ,  t >.  .+  <. ,  h >.  <. ,  >.  .+ 
.~  <. ,  t >.  .+  <. ,  h >.
1916, 18imbi12d 223 . . . . . . . 8  <. s ,  >.  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  <. s ,  >.  .~  <. ,  h >.  <. , 
>.  .+  <. s , 
>.  .~  <. ,  t >.  .+  <. ,  h >. 
<. ,  >.  .~ 
<. ,  t >.  .~  <. ,  h >.  <. ,  >.  .+  .~  <. ,  t >.  .+  <. ,  h >.
2019imbi2d 219 . . . . . . 7  <. s ,  >.  S  S  S  t  S  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  <. s , 
>.  .~  <. ,  h >.  <. ,  >.  .+  <. s ,  >.  .~  <. ,  t
>.  .+  <. ,  h >.  S  S  S  t  S  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  h >.  <. , 
>.  .+  .~  <. ,  t
>.  .+  <. ,  h >.
21 breq2 3759 . . . . . . . . . 10  <. ,  h >.  .~  <. ,  h >.  .~
2221anbi2d 437 . . . . . . . . 9  <. ,  h >.  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. ,  h >.  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~
23 oveq2 5463 . . . . . . . . . 10  <. ,  h >.  <. ,  t
>.  .+  <. ,  h >.  <. ,  t >.  .+
2423breq2d 3767 . . . . . . . . 9  <. ,  h >.  <. ,  >.  .+ 
.~  <. ,  t >.  .+  <. ,  h >.  <. , 
>.  .+  .~  <. ,  t
>.  .+
2522, 24imbi12d 223 . . . . . . . 8  <. ,  h >.  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. ,  h >.  <. ,  >.  .+  .~  <. ,  t >.  .+  <. ,  h >.  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. ,  >.  .+  .~  <. ,  t >.  .+
2625imbi2d 219 . . . . . . 7  <. ,  h >.  S  S  S  t  S  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  h >.  <. , 
>.  .+  .~  <. ,  t
>.  .+  <. ,  h >.  S  S  S  t  S  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  >.  .+ 
.~  <. ,  t >.  .+
27 th3q.4 . . . . . . . 8  S  S  S  t  S  s  S  S  S  h  S  <. , 
>.  .~  <. ,  t
>.  <. s , 
>.  .~  <. ,  h >.  <. ,  >.  .+  <. s ,  >.  .~  <. ,  t
>.  .+  <. ,  h >.
2827expcom 109 . . . . . . 7  s  S  S  S  h  S  S  S  S  t  S  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  <. s ,  >.  .~  <. ,  h >.  <. , 
>.  .+  <. s , 
>.  .~  <. ,  t >.  .+  <. ,  h >.
292, 20, 26, 282optocl 4360 . . . . . 6  S  X.  S  S  X.  S  S  S  S  t  S  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. ,  >.  .+  .~  <. ,  t >.  .+
3029com12 27 . . . . 5  S  S  S  t  S  S  X.  S  S  X.  S  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. ,  >.  .+  .~  <. ,  t >.  .+
312, 8, 14, 302optocl 4360 . . . 4  s  S  X.  S  S  X.  S  S  X.  S  S  X.  S  s  .~  .~  s  .+  .~  .+
3231imp 115 . . 3  s  S  X.  S  S  X.  S  S  X.  S  S  X.  S  s  .~  .~  s  .+ 
.~  .+
331, 32th3qlem1 6144 . 2  S  X.  S
/.  .~  S  X.  S /.  .~  s 
s  .~  .~  s  .+  .~
34 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
35 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
3634, 35opex 3957 . . . . . 6  <. ,  >.  _V
37 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
38 vex 2554 . . . . . . 7  t 
_V
3937, 38opex 3957 . . . . . 6  <. ,  t >.  _V
40 eceq1 6077 . . . . . . . . 9  s  <. , 
>.  s 
.~  <. ,  >.  .~
4140eqeq2d 2048 . . . . . . . 8  s  <. , 
>.  s  .~  <. ,  >.  .~
42 eceq1 6077 . . . . . . . . 9  <. ,  t
>.  .~  <. ,  t >.  .~
4342eqeq2d 2048 . . . . . . . 8  <. ,  t
>.  .~  <. ,  t
>.  .~
4441, 43bi2anan9 538 . . . . . . 7  s  <. ,  >.  <. ,  t
>. 
s  .~  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~
45 oveq12 5464 . . . . . . . . 9  s  <. ,  >.  <. ,  t
>. 
s  .+  <. , 
>.  .+  <. ,  t
>.
4645eceq1d 6078 . . . . . . . 8  s  <. ,  >.  <. ,  t
>. 
s  .+  .~  <. ,  >.  .+ 
<. ,  t >.  .~
4746eqeq2d 2048 . . . . . . 7  s  <. ,  >.  <. ,  t
>. 
s  .+  .~  <. , 
>.  .+  <. ,  t
>.  .~
4844, 47anbi12d 442 . . . . . 6  s  <. ,  >.  <. ,  t
>. 
s  .~  .~  s  .+  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  >.  .+ 
<. ,  t >.  .~
4936, 39, 48spc2ev 2642 . . . . 5  <. ,  >. 
.~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  >.  .+ 
<. ,  t >.  .~  s 
s  .~  .~  s  .+  .~
5049exlimivv 1773 . . . 4  t  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. , 
>.  .+  <. ,  t
>.  .~  s 
s  .~  .~  s  .+  .~
5150exlimivv 1773 . . 3  t  <. ,  >.  .~  <. ,  t >.  .~  <. , 
>.  .+  <. ,  t
>.  .~  s 
s  .~  .~  s  .+  .~
5251moimi 1962 . 2  s  s 
.~  .~  s  .+  .~  t  <. ,  >. 
.~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  >.  .+ 
<. ,  t >.  .~
5333, 52syl 14 1  S  X.  S
/.  .~  S  X.  S /.  .~  t  <. ,  >. 
.~  <. ,  t
>.  .~  <. ,  >.  .+ 
<. ,  t >.  .~
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  wmo 1898   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755    X. cxp 4286  (class class class)co 5455    Er wer 6039  cec 6040   /.cqs 6041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-iota 4810  df-fv 4853  df-ov 5458  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048
This theorem is referenced by:  th3qcor  6146  th3q  6147
  Copyright terms: Public domain W3C validator