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Theorem ralunb 3124
Description: Restricted quantification over a union. (Contributed by Scott Fenton, 12-Apr-2011.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 29-Jun-2011.)
Assertion
Ref Expression
ralunb  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. x  e.  B  ph ) )

Proof of Theorem ralunb
StepHypRef Expression
1 elun 3084 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( A  u.  B )  <->  ( x  e.  A  \/  x  e.  B ) )
21imbi1i 227 . . . . 5  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  ph )  <->  ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B )  ->  ph )
)
3 jaob 631 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  A  \/  x  e.  B
)  ->  ph )  <->  ( (
x  e.  A  ->  ph )  /\  (
x  e.  B  ->  ph ) ) )
42, 3bitri 173 . . . 4  |-  ( ( x  e.  ( A  u.  B )  ->  ph )  <->  ( ( x  e.  A  ->  ph )  /\  ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
54albii 1359 . . 3  |-  ( A. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ph )  <->  A. x
( ( x  e.  A  ->  ph )  /\  ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
6 19.26 1370 . . 3  |-  ( A. x ( ( x  e.  A  ->  ph )  /\  ( x  e.  B  ->  ph ) )  <->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ph )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
75, 6bitri 173 . 2  |-  ( A. x ( x  e.  ( A  u.  B
)  ->  ph )  <->  ( A. x ( x  e.  A  ->  ph )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
8 df-ral 2311 . 2  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  A. x
( x  e.  ( A  u.  B )  ->  ph ) )
9 df-ral 2311 . . 3  |-  ( A. x  e.  A  ph  <->  A. x
( x  e.  A  ->  ph ) )
10 df-ral 2311 . . 3  |-  ( A. x  e.  B  ph  <->  A. x
( x  e.  B  ->  ph ) )
119, 10anbi12i 433 . 2  |-  ( ( A. x  e.  A  ph 
/\  A. x  e.  B  ph )  <->  ( A. x
( x  e.  A  ->  ph )  /\  A. x ( x  e.  B  ->  ph ) ) )
127, 8, 113bitr4i 201 1  |-  ( A. x  e.  ( A  u.  B ) ph  <->  ( A. x  e.  A  ph  /\  A. x  e.  B  ph ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    <-> wb 98    \/ wo 629   A.wal 1241    e. wcel 1393   A.wral 2306    u. cun 2915
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-un 2922
This theorem is referenced by:  ralun  3125  ralprg  3421  raltpg  3423  ralunsn  3568
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