ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  preq12b Structured version   Unicode version

Theorem preq12b 3532
Description: Equality relationship for two unordered pairs. (Contributed by NM, 17-Oct-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
preq12b.1  _V
preq12b.2  _V
preq12b.3  C 
_V
preq12b.4  D 
_V
Assertion
Ref Expression
preq12b  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C

Proof of Theorem preq12b
StepHypRef Expression
1 preq12b.1 . . . . . 6  _V
21prid1 3467 . . . . 5  { ,  }
3 eleq2 2098 . . . . 5  { ,  }  { C ,  D }  { ,  }  { C ,  D }
42, 3mpbii 136 . . . 4  { ,  }  { C ,  D }  { C ,  D }
51elpr 3385 . . . 4  { C ,  D }  C  D
64, 5sylib 127 . . 3  { ,  }  { C ,  D }  C  D
7 preq1 3438 . . . . . . . 8  C  { ,  }  { C ,  }
87eqeq1d 2045 . . . . . . 7  C  { ,  }  { C ,  D }  { C ,  }  { C ,  D }
9 preq12b.2 . . . . . . . 8  _V
10 preq12b.4 . . . . . . . 8  D 
_V
119, 10preqr2 3531 . . . . . . 7  { C ,  }  { C ,  D }  D
128, 11syl6bi 152 . . . . . 6  C  { ,  }  { C ,  D }  D
1312com12 27 . . . . 5  { ,  }  { C ,  D }  C  D
1413ancld 308 . . . 4  { ,  }  { C ,  D }  C  C  D
15 prcom 3437 . . . . . . 7  { C ,  D }  { D ,  C }
1615eqeq2i 2047 . . . . . 6  { ,  }  { C ,  D }  { ,  }  { D ,  C }
17 preq1 3438 . . . . . . . . 9  D  { ,  }  { D ,  }
1817eqeq1d 2045 . . . . . . . 8  D  { ,  }  { D ,  C }  { D ,  }  { D ,  C }
19 preq12b.3 . . . . . . . . 9  C 
_V
209, 19preqr2 3531 . . . . . . . 8  { D ,  }  { D ,  C }  C
2118, 20syl6bi 152 . . . . . . 7  D  { ,  }  { D ,  C }  C
2221com12 27 . . . . . 6  { ,  }  { D ,  C }  D  C
2316, 22sylbi 114 . . . . 5  { ,  }  { C ,  D }  D  C
2423ancld 308 . . . 4  { ,  }  { C ,  D }  D  D  C
2514, 24orim12d 699 . . 3  { ,  }  { C ,  D }  C  D  C  D  D  C
266, 25mpd 13 . 2  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C
27 preq12 3440 . . 3  C  D  { ,  }  { C ,  D }
28 prcom 3437 . . . . 5  { D ,  }  { ,  D }
2917, 28syl6eq 2085 . . . 4  D  { ,  }  { ,  D }
30 preq1 3438 . . . 4  C  { ,  D }  { C ,  D }
3129, 30sylan9eq 2089 . . 3  D  C  { ,  }  { C ,  D }
3227, 31jaoi 635 . 2  C  D  D  C  { ,  }  { C ,  D }
3326, 32impbii 117 1  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   wceq 1242   wcel 1390   _Vcvv 2551   {cpr 3368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374
This theorem is referenced by:  prel12  3533  opthpr  3534  preq12bg  3535  preqsn  3537  opeqpr  3981  preleq  4233
  Copyright terms: Public domain W3C validator