ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  preq12bg Structured version   Unicode version

Theorem preq12bg 3535
Description: Closed form of preq12b 3532. (Contributed by Scott Fenton, 28-Mar-2014.)
Assertion
Ref Expression
preq12bg  V  W  C  X  D  Y  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C

Proof of Theorem preq12bg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 preq1 3438 . . . . . . 7  { ,  }  { ,  }
21eqeq1d 2045 . . . . . 6  { ,  }  { ,  D }  { ,  }  { ,  D }
3 eqeq1 2043 . . . . . . . 8
43anbi1d 438 . . . . . . 7  D  D
5 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  D  D
65anbi1d 438 . . . . . . 7  D  D
74, 6orbi12d 706 . . . . . 6  D  D  D  D
82, 7bibi12d 224 . . . . 5  { ,  }  { ,  D }  D  D  { ,  }  { ,  D }  D  D
98imbi2d 219 . . . 4  D  Y  { ,  }  { ,  D }  D  D  D  Y  { ,  }  { ,  D }  D  D
10 preq2 3439 . . . . . . 7  { ,  }  { ,  }
1110eqeq1d 2045 . . . . . 6  { ,  }  { ,  D }  { ,  }  { ,  D }
12 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  D  D
1312anbi2d 437 . . . . . . 7  D  D
14 eqeq1 2043 . . . . . . . 8
1514anbi2d 437 . . . . . . 7  D  D
1613, 15orbi12d 706 . . . . . 6  D  D  D  D
1711, 16bibi12d 224 . . . . 5  { ,  }  { ,  D }  D  D  { ,  }  { ,  D }  D  D
1817imbi2d 219 . . . 4  D  Y  { ,  }  { ,  D }  D  D  D  Y  { ,  }  { ,  D }  D  D
19 preq1 3438 . . . . . . 7  C  { ,  D }  { C ,  D }
2019eqeq2d 2048 . . . . . 6  C  { ,  }  { ,  D }  { ,  }  { C ,  D }
21 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  C  C
2221anbi1d 438 . . . . . . 7  C  D  C  D
23 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  C  C
2423anbi2d 437 . . . . . . 7  C  D  D  C
2522, 24orbi12d 706 . . . . . 6  C  D  D  C  D  D  C
2620, 25bibi12d 224 . . . . 5  C  { ,  }  { ,  D }  D  D  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C
2726imbi2d 219 . . . 4  C  D  Y  { ,  }  { ,  D }  D  D  D  Y  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C
28 preq2 3439 . . . . . . 7  D  { ,  }  { ,  D }
2928eqeq2d 2048 . . . . . 6  D  { ,  }  { ,  }  { ,  }  { ,  D }
30 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  D  D
3130anbi2d 437 . . . . . . 7  D  D
32 eqeq2 2046 . . . . . . . 8  D  D
3332anbi1d 438 . . . . . . 7  D  D
3431, 33orbi12d 706 . . . . . 6  D  D  D
35 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
36 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
37 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
38 vex 2554 . . . . . . 7 
_V
3935, 36, 37, 38preq12b 3532 . . . . . 6  { ,  }  { ,  }
4029, 34, 39vtoclbg 2608 . . . . 5  D  Y  { ,  }  { ,  D }  D  D
4140a1i 9 . . . 4  V  W  X  D  Y  { ,  }  { ,  D }  D  D
429, 18, 27, 41vtocl3ga 2617 . . 3  V  W  C  X  D  Y  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C
43423expa 1103 . 2  V  W  C  X  D  Y  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C
4443impr 361 1  V  W  C  X  D  Y  { ,  }  { C ,  D }  C  D  D  C
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wo 628   w3a 884   wceq 1242   wcel 1390   {cpr 3368
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-sn 3373  df-pr 3374
This theorem is referenced by:  prneimg  3536
  Copyright terms: Public domain W3C validator