Theorem fvsnun2 5304

Description: The value of a function with one of its ordered pairs replaced, at arguments other than the replaced one. See also fvsnun1 5303. (Contributed by NM, 23-Sep-2007.)

Hypotheses

Ref	Expression
fvsnun.1	|- A e. _V
fvsnun.2	|- B e. _V
fvsnun.3	|- G = ( { <.A , B >. } u. ( F |` ( C \ {A })))

Assertion

Ref	Expression
fvsnun2	|- ( D e. ( C \ {A }) -> ( G ` D) = ( F ` D))

Proof of Theorem fvsnun2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		fvsnun.3	. . . . 5 |- G = ( { <.A , B >. } u. ( F |` ( C \ {A })))
2	1	reseq1i 4551	. . . 4 |- ( G |` ( C \ {A })) = (( { <.A , B >. } u. ( F |` ( C \ {A }))) |` ( C \ {A }))
3		resundir 4569	. . . 4 |- (( { <.A , B >. } u. ( F |` ( C \ {A }))) |` ( C \ {A })) = (( { <.A , B >. } |` ( C \ {A })) u. (( F |` ( C \ {A })) |` ( C \ {A })))
4		disjdif 3290	. . . . . . 7 |- ( {A } i^i ( C \ {A })) = (/)
5		fvsnun.1	. . . . . . . . 9 |- A e. _V
6		fvsnun.2	. . . . . . . . 9 |- B e. _V
7	5, 6	fnsn 4896	. . . . . . . 8 |- { <.A , B >. } Fn {A }
8		fnresdisj 4952	. . . . . . . 8 |- ( { <.A , B >. } Fn {A } -> (( {A } i^i ( C \ {A })) = (/) <-> ( { <.A , B >. } |` ( C \ {A })) = (/)))
9	7, 8	ax-mp 7	. . . . . . 7 |- (( {A } i^i ( C \ {A })) = (/) <-> ( { <.A , B >. } |` ( C \ {A })) = (/))
10	4, 9	mpbi 133	. . . . . 6 |- ( { <.A , B >. } |` ( C \ {A })) = (/)
11		residm 4585	. . . . . 6 |- (( F |` ( C \ {A })) |` ( C \ {A })) = ( F |` ( C \ {A }))
12	10, 11	uneq12i 3089	. . . . 5 |- (( { <.A , B >. } |` ( C \ {A })) u. (( F |` ( C \ {A })) |` ( C \ {A }))) = ( (/) u. ( F |` ( C \ {A })))
13		uncom 3081	. . . . 5 |- ( (/) u. ( F |` ( C \ {A }))) = (( F |` ( C \ {A })) u. (/))
14		un0 3245	. . . . 5 |- (( F |` ( C \ {A })) u. (/)) = ( F |` ( C \ {A }))
15	12, 13, 14	3eqtri 2061	. . . 4 |- (( { <.A , B >. } |` ( C \ {A })) u. (( F |` ( C \ {A })) |` ( C \ {A }))) = ( F |` ( C \ {A }))
16	2, 3, 15	3eqtri 2061	. . 3 |- ( G |` ( C \ {A })) = ( F |` ( C \ {A }))
17	16	fveq1i 5122	. 2 |- (( G |` ( C \ {A })) ` D) = (( F |` ( C \ {A })) ` D)
18		fvres 5141	. 2 |- ( D e. ( C \ {A }) -> (( G |` ( C \ {A })) ` D) = ( G ` D))
19		fvres 5141	. 2 |- ( D e. ( C \ {A }) -> (( F |` ( C \ {A })) ` D) = ( F ` D))
20	17, 18, 19	3eqtr3a 2093	1 |- ( D e. ( C \ {A }) -> ( G ` D) = ( F ` D))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   = wceq 1242   e. wcel 1390   _Vcvv 2551   \ cdif 2908   u. cun 2909   i^i cin 2910   (/)c0 3218   {csn 3367   <.cop 3370   |` cres 4290   Fn wfn 4840   ` cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)