ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  eloprabga Unicode version

Theorem eloprabga 5533
Description: The law of concretion for operation class abstraction. Compare elopab 3986. (Contributed by NM, 14-Sep-1999.) (Unnecessary distinct variable restrictions were removed by David Abernethy, 19-Jun-2012.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
eloprabga.1  C
Assertion
Ref Expression
eloprabga  V  W  C  X  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
Distinct variable groups:   ,,,   ,,,   , C,,   ,,,
Allowed substitution hints:   (,,)    V(,,)    W(,,)    X(,,)

Proof of Theorem eloprabga
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elex 2560 . 2  V  _V
2 elex 2560 . 2  W  _V
3 elex 2560 . 2  C  X  C  _V
4 opexg 3955 . . . . 5  _V  _V  <. ,  >.  _V
5 opexg 3955 . . . . 5 
<. ,  >. 
_V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >. 
_V
64, 5sylan 267 . . . 4  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  _V
763impa 1098 . . 3  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  _V
8 simpr 103 . . . . . . . . . . 11  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  C >.
98eqeq1d 2045 . . . . . . . . . 10  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.
10 eqcom 2039 . . . . . . . . . . 11  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  >. 
<. <. ,  >. ,  C >.
11 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
12 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
13 vex 2554 . . . . . . . . . . . 12 
_V
1411, 12, 13otth2 3969 . . . . . . . . . . 11  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  C >.  C
1510, 14bitri 173 . . . . . . . . . 10  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  C
169, 15syl6bb 185 . . . . . . . . 9  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  C
1716anbi1d 438 . . . . . . . 8  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  C
18 eloprabga.1 . . . . . . . . 9  C
1918pm5.32i 427 . . . . . . . 8  C  C
2017, 19syl6bb 185 . . . . . . 7  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  C
21203exbidv 1746 . . . . . 6  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  C
22 df-oprab 5459 . . . . . . . . . 10  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  {  |  <. <. ,  >. ,  >.  }
2322eleq2i 2101 . . . . . . . . 9  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  {  |  <. <. ,  >. ,  >.  }
24 abid 2025 . . . . . . . . 9  {  |  <. <. ,  >. ,  >.  } 
<. <. , 
>. ,  >.
2523, 24bitr2i 174 . . . . . . . 8  <. <. ,  >. ,  >.  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }
26 eleq1 2097 . . . . . . . 8  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. ,  >. ,  >.  |  }  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
2725, 26syl5bb 181 . . . . . . 7  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
2827adantl 262 . . . . . 6  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  >.  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
29 elisset 2562 . . . . . . . . . . 11  _V
30 elisset 2562 . . . . . . . . . . 11  _V
31 elisset 2562 . . . . . . . . . . 11  C  _V  C
3229, 30, 313anim123i 1088 . . . . . . . . . 10  _V  _V  C  _V  C
33 eeeanv 1805 . . . . . . . . . 10  C  C
3432, 33sylibr 137 . . . . . . . . 9  _V  _V  C  _V  C
3534biantrurd 289 . . . . . . . 8  _V  _V  C  _V  C
36 19.41vvv 1781 . . . . . . . 8  C  C
3735, 36syl6rbbr 188 . . . . . . 7  _V  _V  C  _V  C
3837adantr 261 . . . . . 6  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  C
3921, 28, 383bitr3d 207 . . . . 5  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
4039expcom 109 . . . 4  <. <. ,  >. ,  C >.  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
4140vtocleg 2618 . . 3  <. <. ,  >. ,  C >.  _V  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
427, 41mpcom 32 . 2  _V  _V  C  _V  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
431, 2, 3, 42syl3an 1176 1  V  W  C  X  <. <. ,  >. ,  C >.  { <. <. , 
>. ,  >.  |  }
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   w3a 884   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   {cab 2023   _Vcvv 2551   <.cop 3370   {coprab 5456
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-oprab 5459
This theorem is referenced by:  eloprabg  5534  ovigg  5563
  Copyright terms: Public domain W3C validator