Theorem oprabss 5590

Description: Structure of an operation class abstraction. (Contributed by NM, 28-Nov-2006.)

Assertion

Ref	Expression
oprabss	|- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Distinct variable group:   x, y, z

Allowed substitution hints:   ph( x, y, z)

Proof of Theorem oprabss

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reloprab 5553	. . 3 |- Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph }
2		relssdmrn 4841	. . 3 |- ( Rel { <. <. x , y >. , z >. | ph } -> { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) )
3	1, 2	ax-mp 7	. 2 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } )
4		reldmoprab 5589	. . . 4 |- Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph }
5		df-rel 4352	. . . 4 |- ( Rel dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } <-> dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) )
6	4, 5	mpbi 133	. . 3 |- dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V )
7		ssv 2965	. . 3 |- ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V
8		xpss12 4445	. . 3 |- ( ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( _V X. _V ) /\ ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ _V ) -> ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V ) )
9	6, 7, 8	mp2an 402	. 2 |- ( dom { <. <. x , y >. , z >. | ph } X. ran { <. <. x , y >. , z >. | ph } ) C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )
10	3, 9	sstri 2954	1 |- { <. <. x , y >. , z >. | ph } C_ ( ( _V X. _V ) X. _V )

Syntax hints:   _Vcvv 2557   C_ wss 2917   X. cxp 4343   dom cdm 4345   ran crn 4346   Rel wrel 4350   {coprab 5513

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-oprab 5516

This theorem is referenced by: (None)