Theorem ovigg 5563

Description: The value of an operation class abstraction. Compare ovig 5564. The condition (x e. R /\ y e. S) is been removed. (Contributed by FL, 24-Mar-2007.) (Revised by Mario Carneiro, 19-Dec-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
ovigg.1	|- ((x = A /\ y = B /\ z = C) -> (ph <-> ps))
ovigg.4	|- E*zph
ovigg.5	|- F = { <. <.x , y >. , z >. | ph }

Assertion

Ref	Expression
ovigg	|- ((A e. V /\ B e. W /\ C e. X) -> (ps -> (A FB) = C))

Distinct variable groups:   x,y,z,A   x,B,y,z   x, C,y,z   ps,x,y,z

Allowed substitution hints:   ph(x,y,z)   F(x,y,z)   V(x,y,z)   W(x,y,z)   X(x,y,z)

Proof of Theorem ovigg

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ovigg.1	. . 3 |- ((x = A /\ y = B /\ z = C) -> (ph <-> ps))
2	1	eloprabga 5533	. 2 |- ((A e. V /\ B e. W /\ C e. X) -> ( <. <.A , B >. , C >. e. { <. <.x , y >. , z >. | ph } <-> ps))
3		df-ov 5458	. . . 4 |- (A FB) = ( F ` <.A , B >.)
4		ovigg.5	. . . . 5 |- F = { <. <.x , y >. , z >. | ph }
5	4	fveq1i 5122	. . . 4 |- ( F ` <.A , B >.) = ( { <. <.x , y >. , z >. | ph } ` <.A , B >.)
6	3, 5	eqtri 2057	. . 3 |- (A FB) = ( { <. <.x , y >. , z >. | ph } ` <.A , B >.)
7		ovigg.4	. . . . 5 |- E*zph
8	7	funoprab 5543	. . . 4 |- Fun { <. <.x , y >. , z >. | ph }
9		funopfv 5156	. . . 4 |- ( Fun { <. <.x , y >. , z >. | ph } -> ( <. <.A , B >. , C >. e. { <. <.x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <.x , y >. , z >. | ph } ` <.A , B >.) = C))
10	8, 9	ax-mp 7	. . 3 |- ( <. <.A , B >. , C >. e. { <. <.x , y >. , z >. | ph } -> ( { <. <.x , y >. , z >. | ph } ` <.A , B >.) = C)
11	6, 10	syl5eq 2081	. 2 |- ( <. <.A , B >. , C >. e. { <. <.x , y >. , z >. | ph } -> (A FB) = C)
12	2, 11	syl6bir 153	1 |- ((A e. V /\ B e. W /\ C e. X) -> (ps -> (A FB) = C))

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   /\ w3a 884   = wceq 1242   e. wcel 1390  E*wmo 1898   <.cop 3370   Fun wfun 4839   ` cfv 4845  (class class class)co 5455   {coprab 5456

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fv 4853  df-ov 5458  df-oprab 5459

This theorem is referenced by:  ovig  5564