Theorem dmi 4550

Description: The domain of the identity relation is the universe. (Contributed by NM, 30-Apr-1998.) (Proof shortened by Andrew Salmon, 27-Aug-2011.)

Assertion

Ref	Expression
dmi	|- dom _I = _V

Proof of Theorem dmi

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqv 3240	. 2 |- ( dom _I = _V <-> A. x x e. dom _I )
2		a9ev 1587	. . . 4 |- E. y y = x
3		vex 2560	. . . . . . 7 |- y e. _V
4	3	ideq 4488	. . . . . 6 |- ( x _I y <-> x = y )
5		equcom 1593	. . . . . 6 |- ( x = y <-> y = x )
6	4, 5	bitri 173	. . . . 5 |- ( x _I y <-> y = x )
7	6	exbii 1496	. . . 4 |- ( E. y x _I y <-> E. y y = x )
8	2, 7	mpbir 134	. . 3 |- E. y x _I y
9		vex 2560	. . . 4 |- x e. _V
10	9	eldm 4532	. . 3 |- ( x e. dom _I <-> E. y x _I y )
11	8, 10	mpbir 134	. 2 |- x e. dom _I
12	1, 11	mpgbir 1342	1 |- dom _I = _V

Syntax hints:   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   _I cid 4025   dom cdm 4345

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-id 4030  df-xp 4351  df-rel 4352  df-dm 4355

This theorem is referenced by:  dmv  4551  iprc  4600  dmresi  4661  climshft2  9827