ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  brecop Structured version   Unicode version

Theorem brecop 6132
Description: Binary relation on a quotient set. Lemma for real number construction. (Contributed by NM, 29-Jan-1996.)
Hypotheses
Ref Expression
brecop.1  .~  _V
brecop.2  .~  Er  G  X.  G
brecop.4  H  G  X.  G /.  .~
brecop.5  .<_  { <. ,  >.  |  H  H  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  }
brecop.6  G  G  G  G  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~
Assertion
Ref Expression
brecop  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  .<_  <. C ,  D >.  .~
Distinct variable groups:   ,,,,,,   ,,,,,,   , C,,,,,   , D,,,,,   ,  .~ ,,,,,   , H,   , G,,,   ,,   ,,,,
Allowed substitution hints:   (,,,)   (,)    G(,)    H(,,,)    .<_ (,,,,,)

Proof of Theorem brecop
StepHypRef Expression
1 brecop.1 . . . 4  .~  _V
2 brecop.4 . . . 4  H  G  X.  G /.  .~
31, 2ecopqsi 6097 . . 3  G  G  <. ,  >.  .~  H
41, 2ecopqsi 6097 . . 3  C  G  D  G  <. C ,  D >.  .~  H
5 df-br 3756 . . . . 5  <. ,  >. 
.~  .<_  <. C ,  D >.  .~  <. <. ,  >.  .~  ,  <. C ,  D >.  .~  >.  .<_
6 brecop.5 . . . . . 6  .<_  { <. ,  >.  |  H  H  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  }
76eleq2i 2101 . . . . 5  <.
<. ,  >. 
.~  ,  <. C ,  D >.  .~  >.  .<_ 
<. <. ,  >.  .~  ,  <. C ,  D >. 
.~  >.  { <. ,  >.  |  H  H  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  }
85, 7bitri 173 . . . 4  <. ,  >. 
.~  .<_  <. C ,  D >.  .~  <. <. ,  >.  .~  ,  <. C ,  D >.  .~  >.  { <. ,  >.  |  H  H  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  }
9 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~
109anbi1d 438 . . . . . . 7  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~
1110anbi1d 438 . . . . . 6  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~
12114exbidv 1747 . . . . 5  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~
13 eqeq1 2043 . . . . . . . 8  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >. 
.~
1413anbi2d 437 . . . . . . 7  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >. 
.~
1514anbi1d 438 . . . . . 6  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >. 
.~
16154exbidv 1747 . . . . 5  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~  <. ,  >.  .~
1712, 16opelopab2 3998 . . . 4  <. ,  >.  .~  H  <. C ,  D >.  .~  H  <. <. ,  >.  .~  ,  <. C ,  D >.  .~  >.  { <. ,  >.  |  H  H  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  }  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~
188, 17syl5bb 181 . . 3  <. ,  >.  .~  H  <. C ,  D >.  .~  H  <. ,  >.  .~  .<_  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~  <. ,  >.  .~
193, 4, 18syl2an 273 . 2  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  .<_  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~
20 opeq12 3542 . . . . . 6  <. ,  >.  <. ,  >.
2120eceq1d 6078 . . . . 5  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~
22 opeq12 3542 . . . . . 6  C  D  <. ,  >.  <. C ,  D >.
2322eceq1d 6078 . . . . 5  C  D  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~
2421, 23anim12i 321 . . . 4  C  D  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~
25 opelxpi 4319 . . . . . . . 8  G  G  <. ,  >.  G  X.  G
26 opelxp 4317 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  G  X.  G  G  G
27 brecop.2 . . . . . . . . . . 11  .~  Er  G  X.  G
2827a1i 9 . . . . . . . . . 10  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  .~  Er  G  X.  G
29 id 19 . . . . . . . . . 10  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~
3028, 29ereldm 6085 . . . . . . . . 9  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  G  X.  G  <. ,  >.  G  X.  G
3126, 30syl5bbr 183 . . . . . . . 8  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  G  G  <. ,  >.  G  X.  G
3225, 31syl5ibr 145 . . . . . . 7  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  G  G  G  G
33 opelxpi 4319 . . . . . . . 8  C  G  D  G  <. C ,  D >.  G  X.  G
34 opelxp 4317 . . . . . . . . 9  <. ,  >.  G  X.  G  G  G
3527a1i 9 . . . . . . . . . 10  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  .~  Er  G  X.  G
36 id 19 . . . . . . . . . 10  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~
3735, 36ereldm 6085 . . . . . . . . 9  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  G  X.  G  <. C ,  D >.  G  X.  G
3834, 37syl5bbr 183 . . . . . . . 8  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  G  G  <. C ,  D >.  G  X.  G
3933, 38syl5ibr 145 . . . . . . 7  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  C  G  D  G  G  G
4032, 39im2anan9 530 . . . . . 6  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  G  G  C  G  D  G  G  G  G  G
41 brecop.6 . . . . . . . . 9  G  G  G  G  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~
4241an4s 522 . . . . . . . 8  G  G  G  G  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~
4342ex 108 . . . . . . 7  G  G  G  G  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~
4443com13 74 . . . . . 6  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  G  G  C  G  D  G  G  G  G  G
4540, 44mpdd 36 . . . . 5  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  G  G  C  G  D  G
4645pm5.74d 171 . . . 4  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  G  G  C  G  D  G  G  G  C  G  D  G
4724, 46cgsex4g 2585 . . 3  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  G  G  C  G  D  G  G  G  C  G  D  G
48 eqcom 2039 . . . . . . 7  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~
49 eqcom 2039 . . . . . . 7  <. C ,  D >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~
5048, 49anbi12i 433 . . . . . 6  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~
5150a1i 9 . . . . 5  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~
52 biimt 230 . . . . 5  G  G  C  G  D  G  G  G  C  G  D  G
5351, 52anbi12d 442 . . . 4  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. ,  >.  .~  <. C ,  D >.  .~  G  G  C  G  D  G
54534exbidv 1747 . . 3  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  G  G  C  G  D  G
55 biimt 230 . . 3  G  G  C  G  D  G  G  G  C  G  D  G
5647, 54, 553bitr4d 209 . 2  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  <. ,  >. 
.~  <. C ,  D >.  .~  <. ,  >.  .~
5719, 56bitrd 177 1  G  G  C  G  D  G  <. ,  >.  .~  .<_  <. C ,  D >.  .~
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wi 4   wa 97   wb 98   wceq 1242  wex 1378   wcel 1390   _Vcvv 2551   <.cop 3370   class class class wbr 3755   {copab 3808    X. cxp 4286    Er wer 6039  cec 6040   /.cqs 6041
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-13 1401  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935  ax-un 4136
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-cnv 4296  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-ima 4301  df-er 6042  df-ec 6044  df-qs 6048
This theorem is referenced by:  ordpipqqs  6358  ltsrprg  6675
  Copyright terms: Public domain W3C validator