Theorem brdomg 6229

Description: Dominance relation. (Contributed by NM, 15-Jun-1998.)

Assertion

Ref	Expression
brdomg	|- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Distinct variable groups:   A, f   B, f

Allowed substitution hint:   C( f)

Proof of Theorem brdomg

Dummy variables x y are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		reldom 6226	. . . 4 |- Rel ~<_
2	1	brrelexi 4384	. . 3 |- ( A ~<_ B -> A e. _V )
3	2	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B -> A e. _V ) )
4		f1f 5092	. . . . 5 |- ( f : A -1-1-> B -> f : A --> B )
5		fdm 5050	. . . . . 6 |- ( f : A --> B -> dom f = A )
6		vex 2560	. . . . . . 7 |- f e. _V
7	6	dmex 4598	. . . . . 6 |- dom f e. _V
8	5, 7	syl6eqelr 2129	. . . . 5 |- ( f : A --> B -> A e. _V )
9	4, 8	syl 14	. . . 4 |- ( f : A -1-1-> B -> A e. _V )
10	9	exlimiv 1489	. . 3 |- ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V )
11	10	a1i 9	. 2 |- ( B e. C -> ( E. f f : A -1-1-> B -> A e. _V ) )
12		f1eq2 5088	. . . . 5 |- ( x = A -> ( f : x -1-1-> y <-> f : A -1-1-> y ) )
13	12	exbidv 1706	. . . 4 |- ( x = A -> ( E. f f : x -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> y ) )
14		f1eq3 5089	. . . . 5 |- ( y = B -> ( f : A -1-1-> y <-> f : A -1-1-> B ) )
15	14	exbidv 1706	. . . 4 |- ( y = B -> ( E. f f : A -1-1-> y <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
16		df-dom 6223	. . . 4 |- ~<_ = { <. x , y >. | E. f f : x -1-1-> y }
17	13, 15, 16	brabg 4006	. . 3 |- ( ( A e. _V /\ B e. C ) -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )
18	17	expcom 109	. 2 |- ( B e. C -> ( A e. _V -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) ) )
19	3, 11, 18	pm5.21ndd 621	1 |- ( B e. C -> ( A ~<_ B <-> E. f f : A -1-1-> B ) )

Syntax hints:   -> wi 4   <-> wb 98   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   _Vcvv 2557   class class class wbr 3764   dom cdm 4345   -->wf 4898   -1-1->wf1 4899   ~<_ cdom 6220

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-13 1404  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944  ax-un 4170

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-uni 3581  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-cnv 4353  df-dm 4355  df-rn 4356  df-fn 4905  df-f 4906  df-f1 4907  df-dom 6223

This theorem is referenced by:  brdomi  6230  brdom  6231  f1dom2g  6236  f1domg  6238  dom3d  6254  phplem4dom  6324