Theorem xpidtr 4715

Description: A square cross product (𝐴 × 𝐴) is a transitive relation. (Contributed by FL, 31-Jul-2009.)

Assertion

Ref	Expression
xpidtr	⊢ ((𝐴 × 𝐴) ∘ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴)

Proof of Theorem xpidtr

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		brxp 4375	. . . . . 6 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴))
2		brxp 4375	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧 ↔ (𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
3		brxp 4375	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧 ↔ (𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴))
4	3	simplbi2com 1333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑧 ∈ 𝐴 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧))
5	4	adantl 262	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ 𝐴 ∧ 𝑧 ∈ 𝐴) → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧))
6	2, 5	sylbi 114	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧 → (𝑥 ∈ 𝐴 → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧))
7	6	com12 27	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 ∈ 𝐴 → (𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧 → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧))
8	7	adantr 261	. . . . . 6 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ∧ 𝑦 ∈ 𝐴) → (𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧 → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧))
9	1, 8	sylbi 114	. . . . 5 ⊢ (𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 → (𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧 → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧))
10	9	imp 115	. . . 4 ⊢ ((𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧) → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧)
11	10	ax-gen 1338	. . 3 ⊢ ∀𝑧((𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧) → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧)
12	11	gen2 1339	. 2 ⊢ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧) → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧)
13		cotr 4706	. 2 ⊢ (((𝐴 × 𝐴) ∘ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴) ↔ ∀𝑥∀𝑦∀𝑧((𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑦 ∧ 𝑦(𝐴 × 𝐴)𝑧) → 𝑥(𝐴 × 𝐴)𝑧))
14	12, 13	mpbir 134	1 ⊢ ((𝐴 × 𝐴) ∘ (𝐴 × 𝐴)) ⊆ (𝐴 × 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97  ∀wal 1241   ∈ wcel 1393   ⊆ wss 2917   class class class wbr 3764   × cxp 4343   ∘ ccom 4349

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-14 1405  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022  ax-sep 3875  ax-pow 3927  ax-pr 3944

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 887  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-eu 1903  df-mo 1904  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-rex 2312  df-v 2559  df-un 2922  df-in 2924  df-ss 2931  df-pw 3361  df-sn 3381  df-pr 3382  df-op 3384  df-br 3765  df-opab 3819  df-xp 4351  df-rel 4352  df-co 4354

This theorem is referenced by:  trinxp  4718  xpiderm  6177