Theorem qfto 4657

Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)

Assertion

Ref	Expression
qfto	⊢ ((A × B) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀x ∈ A ∀y ∈ B (x𝑅y ∨ y𝑅x))

Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝑅,y

Proof of Theorem qfto

Step	Hyp	Ref	Expression
1		opelxp 4317	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (A × B) ↔ (x ∈ A ∧ y ∈ B))
2		brun 3801	. . . . 5 ⊢ (x(𝑅 ∪ ◡𝑅)y ↔ (x𝑅y ∨ x◡𝑅y))
3		df-br 3756	. . . . 5 ⊢ (x(𝑅 ∪ ◡𝑅)y ↔ ⟨x, y⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅))
4		vex 2554	. . . . . . 7 ⊢ x ∈ V
5		vex 2554	. . . . . . 7 ⊢ y ∈ V
6	4, 5	brcnv 4461	. . . . . 6 ⊢ (x◡𝑅y ↔ y𝑅x)
7	6	orbi2i 678	. . . . 5 ⊢ ((x𝑅y ∨ x◡𝑅y) ↔ (x𝑅y ∨ y𝑅x))
8	2, 3, 7	3bitr3i 199	. . . 4 ⊢ (⟨x, y⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ (x𝑅y ∨ y𝑅x))
9	1, 8	imbi12i 228	. . 3 ⊢ ((⟨x, y⟩ ∈ (A × B) → ⟨x, y⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅)) ↔ ((x ∈ A ∧ y ∈ B) → (x𝑅y ∨ y𝑅x)))
10	9	2albii 1357	. 2 ⊢ (∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ (A × B) → ⟨x, y⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅)) ↔ ∀x∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → (x𝑅y ∨ y𝑅x)))
11		relxp 4390	. . 3 ⊢ Rel (A × B)
12		ssrel 4371	. . 3 ⊢ (Rel (A × B) → ((A × B) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ (A × B) → ⟨x, y⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅))))
13	11, 12	ax-mp 7	. 2 ⊢ ((A × B) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀x∀y(⟨x, y⟩ ∈ (A × B) → ⟨x, y⟩ ∈ (𝑅 ∪ ◡𝑅)))
14		r2al 2337	. 2 ⊢ (∀x ∈ A ∀y ∈ B (x𝑅y ∨ y𝑅x) ↔ ∀x∀y((x ∈ A ∧ y ∈ B) → (x𝑅y ∨ y𝑅x)))
15	10, 13, 14	3bitr4i 201	1 ⊢ ((A × B) ⊆ (𝑅 ∪ ◡𝑅) ↔ ∀x ∈ A ∀y ∈ B (x𝑅y ∨ y𝑅x))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ↔ wb 98   ∨ wo 628  ∀wal 1240   ∈ wcel 1390  ∀wral 2300   ∪ cun 2909   ⊆ wss 2911  ⟨cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ^◡ccnv 4287  Rel wrel 4293

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296

This theorem is referenced by: (None)