ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  qfto Structured version   GIF version

Theorem qfto 4657
Description: A quantifier-free way of expressing the total order predicate. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Nov-2013.)
Assertion
Ref Expression
qfto ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ x A y B (x𝑅y y𝑅x))
Distinct variable groups:   x,y,A   x,B,y   x,𝑅,y

Proof of Theorem qfto
StepHypRef Expression
1 opelxp 4317 . . . 4 (⟨x, y (A × B) ↔ (x A y B))
2 brun 3801 . . . . 5 (x(𝑅𝑅)y ↔ (x𝑅y x𝑅y))
3 df-br 3756 . . . . 5 (x(𝑅𝑅)y ↔ ⟨x, y (𝑅𝑅))
4 vex 2554 . . . . . . 7 x V
5 vex 2554 . . . . . . 7 y V
64, 5brcnv 4461 . . . . . 6 (x𝑅yy𝑅x)
76orbi2i 678 . . . . 5 ((x𝑅y x𝑅y) ↔ (x𝑅y y𝑅x))
82, 3, 73bitr3i 199 . . . 4 (⟨x, y (𝑅𝑅) ↔ (x𝑅y y𝑅x))
91, 8imbi12i 228 . . 3 ((⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)) ↔ ((x A y B) → (x𝑅y y𝑅x)))
1092albii 1357 . 2 (xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)) ↔ xy((x A y B) → (x𝑅y y𝑅x)))
11 relxp 4390 . . 3 Rel (A × B)
12 ssrel 4371 . . 3 (Rel (A × B) → ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅))))
1311, 12ax-mp 7 . 2 ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ xy(⟨x, y (A × B) → ⟨x, y (𝑅𝑅)))
14 r2al 2337 . 2 (x A y B (x𝑅y y𝑅x) ↔ xy((x A y B) → (x𝑅y y𝑅x)))
1510, 13, 143bitr4i 201 1 ((A × B) ⊆ (𝑅𝑅) ↔ x A y B (x𝑅y y𝑅x))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97  wb 98   wo 628  wal 1240   wcel 1390  wral 2300  cun 2909  wss 2911  cop 3370   class class class wbr 3755   × cxp 4286  ccnv 4287  Rel wrel 4293
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-br 3756  df-opab 3810  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator