Theorem prcom 3446

Description: Commutative law for unordered pairs. (Contributed by NM, 5-Aug-1993.)

Assertion

Ref	Expression
prcom	⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}

Proof of Theorem prcom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		uncom 3087	. 2 ⊢ ({𝐴} ∪ {𝐵}) = ({𝐵} ∪ {𝐴})
2		df-pr 3382	. 2 ⊢ {𝐴, 𝐵} = ({𝐴} ∪ {𝐵})
3		df-pr 3382	. 2 ⊢ {𝐵, 𝐴} = ({𝐵} ∪ {𝐴})
4	1, 2, 3	3eqtr4i 2070	1 ⊢ {𝐴, 𝐵} = {𝐵, 𝐴}

Syntax hints:   = wceq 1243   ∪ cun 2915  {csn 3375  {cpr 3376

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-un 2922  df-pr 3382

This theorem is referenced by:  preq2  3448  tpcoma  3464  tpidm23  3471  prid2g  3475  prid2  3477  prprc2  3479  difprsn2  3504  preqr2g  3538  preqr2  3540  preq12b  3541  fvpr2  5366  fvpr2g  5368