ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  imaiun Structured version   GIF version

Theorem imaiun 5324
Description: The image of an indexed union is the indexed union of the images. (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
imaiun (A x B 𝐶) = x B (A𝐶)
Distinct variable group:   x,A
Allowed substitution hints:   B(x)   𝐶(x)

Proof of Theorem imaiun
Dummy variables y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 rexcom4 2554 . . . 4 (x B z(z 𝐶 z, y A) ↔ zx B (z 𝐶 z, y A))
2 vex 2538 . . . . . 6 y V
32elima3 4602 . . . . 5 (y (A𝐶) ↔ z(z 𝐶 z, y A))
43rexbii 2309 . . . 4 (x B y (A𝐶) ↔ x B z(z 𝐶 z, y A))
5 eliun 3635 . . . . . . 7 (z x B 𝐶x B z 𝐶)
65anbi1i 434 . . . . . 6 ((z x B 𝐶 z, y A) ↔ (x B z 𝐶 z, y A))
7 r19.41v 2444 . . . . . 6 (x B (z 𝐶 z, y A) ↔ (x B z 𝐶 z, y A))
86, 7bitr4i 176 . . . . 5 ((z x B 𝐶 z, y A) ↔ x B (z 𝐶 z, y A))
98exbii 1478 . . . 4 (z(z x B 𝐶 z, y A) ↔ zx B (z 𝐶 z, y A))
101, 4, 93bitr4ri 202 . . 3 (z(z x B 𝐶 z, y A) ↔ x B y (A𝐶))
112elima3 4602 . . 3 (y (A x B 𝐶) ↔ z(z x B 𝐶 z, y A))
12 eliun 3635 . . 3 (y x B (A𝐶) ↔ x B y (A𝐶))
1310, 11, 123bitr4i 201 . 2 (y (A x B 𝐶) ↔ y x B (A𝐶))
1413eqriv 2019 1 (A x B 𝐶) = x B (A𝐶)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  wrex 2285  cop 3353   ciun 3631  cima 4275
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-iun 3633  df-br 3739  df-opab 3793  df-xp 4278  df-cnv 4280  df-dm 4282  df-rn 4283  df-res 4284  df-ima 4285
This theorem is referenced by:  imauni  5325  uniqs  6075
  Copyright terms: Public domain W3C validator