Theorem fnovex 5462

Description: The result of an operation is a set. (Contributed by Jim Kingdon, 15-Jan-2019.)

Assertion

Ref	Expression
fnovex	⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷) → (A𝐹B) ∈ V)

Proof of Theorem fnovex

Step	Hyp	Ref	Expression
1		df-ov 5439	. 2 ⊢ (A𝐹B) = (𝐹‘⟨A, B⟩)
2		opelxp 4301	. . . 4 ⊢ (⟨A, B⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷) ↔ (A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷))
3		funfvex 5117	. . . . 5 ⊢ ((Fun 𝐹 ∧ ⟨A, B⟩ ∈ dom 𝐹) → (𝐹‘⟨A, B⟩) ∈ V)
4	3	funfni 4925	. . . 4 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ ⟨A, B⟩ ∈ (𝐶 × 𝐷)) → (𝐹‘⟨A, B⟩) ∈ V)
5	2, 4	sylan2br 272	. . 3 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ (A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷)) → (𝐹‘⟨A, B⟩) ∈ V)
6	5	3impb 1086	. 2 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷) → (𝐹‘⟨A, B⟩) ∈ V)
7	1, 6	syl5eqel 2106	1 ⊢ ((𝐹 Fn (𝐶 × 𝐷) ∧ A ∈ 𝐶 ∧ B ∈ 𝐷) → (A𝐹B) ∈ V)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 97   ∧ w3a 873   ∈ wcel 1374  Vcvv 2535  ⟨cop 3353   × cxp 4270   Fn wfn 4824  ‘cfv 4829  (class class class)co 5436

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-nf 1330  df-sb 1628  df-eu 1885  df-mo 1886  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-ral 2289  df-rex 2290  df-v 2537  df-sbc 2742  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-uni 3555  df-br 3739  df-opab 3793  df-id 4004  df-xp 4278  df-cnv 4280  df-co 4281  df-dm 4282  df-iota 4794  df-fun 4831  df-fn 4832  df-fv 4837  df-ov 5439

This theorem is referenced by:  ovelrn  5572  fnofval  5644