Theorem feqresmpt 5170

Description: Express a restricted function as a mapping. (Contributed by Mario Carneiro, 18-May-2016.)

Hypotheses

Ref	Expression
feqmptd.1	⊢ (φ → 𝐹:A⟶B)
feqresmpt.2	⊢ (φ → 𝐶 ⊆ A)

Assertion

Ref	Expression
feqresmpt	⊢ (φ → (𝐹 ↾ 𝐶) = (x ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘x)))

Distinct variable groups:   x,A   x,𝐶   x,𝐹

Allowed substitution hints:   φ(x)   B(x)

Proof of Theorem feqresmpt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		feqmptd.1	. . . 4 ⊢ (φ → 𝐹:A⟶B)
2		feqresmpt.2	. . . 4 ⊢ (φ → 𝐶 ⊆ A)
3		fssres 5009	. . . 4 ⊢ ((𝐹:A⟶B ∧ 𝐶 ⊆ A) → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶B)
4	1, 2, 3	syl2anc 391	. . 3 ⊢ (φ → (𝐹 ↾ 𝐶):𝐶⟶B)
5	4	feqmptd 5169	. 2 ⊢ (φ → (𝐹 ↾ 𝐶) = (x ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘x)))
6		fvres 5141	. . 3 ⊢ (x ∈ 𝐶 → ((𝐹 ↾ 𝐶)‘x) = (𝐹‘x))
7	6	mpteq2ia 3834	. 2 ⊢ (x ∈ 𝐶 ↦ ((𝐹 ↾ 𝐶)‘x)) = (x ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘x))
8	5, 7	syl6eq 2085	1 ⊢ (φ → (𝐹 ↾ 𝐶) = (x ∈ 𝐶 ↦ (𝐹‘x)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1242   ⊆ wss 2911   ↦ cmpt 3809   ↾ cres 4290  ⟶wf 4841  ‘cfv 4845

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bndl 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-eu 1900  df-mo 1901  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-ral 2305  df-rex 2306  df-v 2553  df-sbc 2759  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-uni 3572  df-br 3756  df-opab 3810  df-mpt 3811  df-id 4021  df-xp 4294  df-rel 4295  df-cnv 4296  df-co 4297  df-dm 4298  df-rn 4299  df-res 4300  df-iota 4810  df-fun 4847  df-fn 4848  df-f 4849  df-fv 4853

This theorem is referenced by: (None)