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Theorem csbxpg 4364
Description: Distribute proper substitution through the cross product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbxpg (A 𝐷A / x(B × 𝐶) = (A / xB × A / x𝐶))

Proof of Theorem csbxpg
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 2901 . . 3 (A 𝐷A / x{zwy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))} = {z[A / x]wy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))})
2 sbcexg 2807 . . . . 5 (A 𝐷 → ([A / x]wy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ w[A / x]y(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))))
3 sbcexg 2807 . . . . . . 7 (A 𝐷 → ([A / x]y(z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ y[A / x](z = ⟨w, y (w B y 𝐶))))
4 sbcang 2800 . . . . . . . . 9 (A 𝐷 → ([A / x](z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ ([A / x]z = ⟨w, y [A / x](w B y 𝐶))))
5 sbcg 2821 . . . . . . . . . 10 (A 𝐷 → ([A / x]z = ⟨w, y⟩ ↔ z = ⟨w, y⟩))
6 sbcang 2800 . . . . . . . . . . 11 (A 𝐷 → ([A / x](w B y 𝐶) ↔ ([A / x]w B [A / x]y 𝐶)))
7 sbcel2g 2865 . . . . . . . . . . . 12 (A 𝐷 → ([A / x]w Bw A / xB))
8 sbcel2g 2865 . . . . . . . . . . . 12 (A 𝐷 → ([A / x]y 𝐶y A / x𝐶))
97, 8anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 (A 𝐷 → (([A / x]w B [A / x]y 𝐶) ↔ (w A / xB y A / x𝐶)))
106, 9bitrd 177 . . . . . . . . . 10 (A 𝐷 → ([A / x](w B y 𝐶) ↔ (w A / xB y A / x𝐶)))
115, 10anbi12d 442 . . . . . . . . 9 (A 𝐷 → (([A / x]z = ⟨w, y [A / x](w B y 𝐶)) ↔ (z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))))
124, 11bitrd 177 . . . . . . . 8 (A 𝐷 → ([A / x](z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ (z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))))
1312exbidv 1703 . . . . . . 7 (A 𝐷 → (y[A / x](z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ y(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))))
143, 13bitrd 177 . . . . . 6 (A 𝐷 → ([A / x]y(z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ y(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))))
1514exbidv 1703 . . . . 5 (A 𝐷 → (w[A / x]y(z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ wy(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))))
162, 15bitrd 177 . . . 4 (A 𝐷 → ([A / x]wy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶)) ↔ wy(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))))
1716abbidv 2152 . . 3 (A 𝐷 → {z[A / x]wy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))} = {zwy(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))})
181, 17eqtrd 2069 . 2 (A 𝐷A / x{zwy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))} = {zwy(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))})
19 df-xp 4294 . . . 4 (B × 𝐶) = {⟨w, y⟩ ∣ (w B y 𝐶)}
20 df-opab 3810 . . . 4 {⟨w, y⟩ ∣ (w B y 𝐶)} = {zwy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))}
2119, 20eqtri 2057 . . 3 (B × 𝐶) = {zwy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))}
2221csbeq2i 2870 . 2 A / x(B × 𝐶) = A / x{zwy(z = ⟨w, y (w B y 𝐶))}
23 df-xp 4294 . . 3 (A / xB × A / x𝐶) = {⟨w, y⟩ ∣ (w A / xB y A / x𝐶)}
24 df-opab 3810 . . 3 {⟨w, y⟩ ∣ (w A / xB y A / x𝐶)} = {zwy(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))}
2523, 24eqtri 2057 . 2 (A / xB × A / x𝐶) = {zwy(z = ⟨w, y (w A / xB y A / x𝐶))}
2618, 22, 253eqtr4g 2094 1 (A 𝐷A / x(B × 𝐶) = (A / xB × A / x𝐶))
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:  wi 4   wa 97   = wceq 1242  wex 1378   wcel 1390  {cab 2023  [wsbc 2758  csb 2846  cop 3370  {copab 3808   × cxp 4286
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1245  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-sbc 2759  df-csb 2847  df-opab 3810  df-xp 4294
This theorem is referenced by:  csbresg  4558
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