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Theorem csbxpg 4421
Description: Distribute proper substitution through the cross product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbxpg  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
) )

Proof of Theorem csbxpg
Dummy variables  w  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 2907 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) } )
2 sbcexg 2813 . . . . 5  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w [. A  /  x ]. E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
3 sbcexg 2813 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) ) )
4 sbcang 2806 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( [. A  /  x ]. z  = 
<. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) ) )
5 sbcg 2827 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  <->  z  =  <. w ,  y >.
) )
6 sbcang 2806 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C ) ) )
7 sbcel2g 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. w  e.  B  <->  w  e.  [_ A  /  x ]_ B ) )
8 sbcel2g 2871 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. y  e.  C  <->  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) )
97, 8anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  D  ->  (
( [. A  /  x ]. w  e.  B  /\  [. A  /  x ]. y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
106, 9bitrd 177 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C
)  <->  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) )
115, 10anbi12d 442 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  D  ->  (
( [. A  /  x ]. z  =  <. w ,  y >.  /\  [. A  /  x ]. ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
124, 11bitrd 177 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
1312exbidv 1706 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  D  ->  ( E. y [. A  /  x ]. ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
143, 13bitrd 177 . . . . . 6  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) )  <->  E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
1514exbidv 1706 . . . . 5  |-  ( A  e.  D  ->  ( E. w [. A  /  x ]. E. y ( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
162, 15bitrd 177 . . . 4  |-  ( A  e.  D  ->  ( [. A  /  x ]. E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
)  <->  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) ) )
1716abbidv 2155 . . 3  |-  ( A  e.  D  ->  { z  |  [. A  /  x ]. E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } )
181, 17eqtrd 2072 . 2  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C
) ) }  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) } )
19 df-xp 4351 . . . 4  |-  ( B  X.  C )  =  { <. w ,  y
>.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }
20 df-opab 3819 . . . 4  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  B  /\  y  e.  C )
) }
2119, 20eqtri 2060 . . 3  |-  ( B  X.  C )  =  { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
2221csbeq2i 2876 . 2  |-  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  = 
[_ A  /  x ]_ { z  |  E. w E. y ( z  =  <. w ,  y
>.  /\  ( w  e.  B  /\  y  e.  C ) ) }
23 df-xp 4351 . . 3  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  { <. w ,  y >.  |  ( w  e. 
[_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }
24 df-opab 3819 . . 3  |-  { <. w ,  y >.  |  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) }  =  { z  |  E. w E. y
( z  =  <. w ,  y >.  /\  (
w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
2523, 24eqtri 2060 . 2  |-  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C )  =  {
z  |  E. w E. y ( z  = 
<. w ,  y >.  /\  ( w  e.  [_ A  /  x ]_ B  /\  y  e.  [_ A  /  x ]_ C ) ) }
2618, 22, 253eqtr4g 2097 1  |-  ( A  e.  D  ->  [_ A  /  x ]_ ( B  X.  C )  =  ( [_ A  /  x ]_ B  X.  [_ A  /  x ]_ C
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 97    = wceq 1243   E.wex 1381    e. wcel 1393   {cab 2026   [.wsbc 2764   [_csb 2852   <.cop 3378   {copab 3817    X. cxp 4343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-opab 3819  df-xp 4351
This theorem is referenced by:  csbresg  4615
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