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Theorem csbxpg 4421
Description: Distribute proper substitution through the cross product of two classes. (Contributed by Alan Sare, 10-Nov-2012.)
Assertion
Ref Expression
csbxpg |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )
Proof of Theorem csbxpg
Dummy variables w y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 csbabg 2907 . . 3 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } )
2 sbcexg 2813 . . . . 5 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
3 sbcexg 2813 . . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
4 sbcang 2806 . . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) ) )
5 sbcg 2827 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. z = <. w , y >. <-> z = <. w , y >. ) )
6 sbcang 2806 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) ) )
7 sbcel2g 2871 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. w e. B <-> w e. [_ A / x ]_ B ) )
8 sbcel2g 2871 . . . . . . . . . . . 12 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. y e. C <-> y e. [_ A / x ]_ C ) )
97, 8anbi12d 442 . . . . . . . . . . 11 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. w e. B /\ [. A / x ]. y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
106, 9bitrd 177 . . . . . . . . . 10 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) <-> ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) )
115, 10anbi12d 442 . . . . . . . . 9 |- ( A e. D -> ( ( [. A / x ]. z = <. w , y >. /\ [. A / x ]. ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
124, 11bitrd 177 . . . . . . . 8 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1312exbidv 1706 . . . . . . 7 |- ( A e. D -> ( E. y [. A / x ]. ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
143, 13bitrd 177 . . . . . 6 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1514exbidv 1706 . . . . 5 |- ( A e. D -> ( E. w [. A / x ]. E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
162, 15bitrd 177 . . . 4 |- ( A e. D -> ( [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) <-> E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) ) )
1716abbidv 2155 . . 3 |- ( A e. D -> { z | [. A / x ]. E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
181, 17eqtrd 2072 . 2 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) } )
19 df-xp 4351 . . . 4 |- ( B X. C ) = { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) }
20 df-opab 3819 . . . 4 |- { <. w , y >. | ( w e. B /\ y e. C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
2119, 20eqtri 2060 . . 3 |- ( B X. C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
2221csbeq2i 2876 . 2 |- [_ A / x ]_ ( B X. C ) = [_ A / x ]_ { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. B /\ y e. C ) ) }
23 df-xp 4351 . . 3 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) }
24 df-opab 3819 . . 3 |- { <. w , y >. | ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) } = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
2523, 24eqtri 2060 . 2 |- ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) = { z | E. w E. y ( z = <. w , y >. /\ ( w e. [_ A / x ]_ B /\ y e. [_ A / x ]_ C ) ) }
2618, 22, 253eqtr4g 2097 1 |- ( A e. D -> [_ A / x ]_ ( B X. C ) = ( [_ A / x ]_ B X. [_ A / x ]_ C ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -> wi 4   /\ wa 97   = wceq 1243   E.wex 1381   e. wcel 1393   {cab 2026   [.wsbc 2764   [_csb 2852   <.cop 3378   {copab 3817   X. cxp 4343
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-v 2559  df-sbc 2765  df-csb 2853  df-opab 3819  df-xp 4351
This theorem is referenced by:  csbresg  4615
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