Theorem 0xp 4363

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0xp	⊢ (∅ × A) = ∅

Proof of Theorem 0xp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4305	. . 3 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)))
2		noel 3222	. . . . . . 7 ⊢ ¬ x ∈ ∅
3		simprl 483	. . . . . . 7 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)) → x ∈ ∅)
4	2, 3	mto 587	. . . . . 6 ⊢ ¬ (z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
5	4	nex 1386	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
6	5	nex 1386	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
7		noel 3222	. . . 4 ⊢ ¬ z ∈ ∅
8	6, 7	2false 616	. . 3 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)) ↔ z ∈ ∅)
9	1, 8	bitri 173	. 2 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ z ∈ ∅)
10	9	eqriv 2034	1 ⊢ (∅ × A) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1242  ∃wex 1378   ∈ wcel 1390  ∅c0 3218  ⟨cop 3370   × cxp 4286

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 544  ax-in2 545  ax-io 629  ax-5 1333  ax-7 1334  ax-gen 1335  ax-ie1 1379  ax-ie2 1380  ax-8 1392  ax-10 1393  ax-11 1394  ax-i12 1395  ax-bnd 1396  ax-4 1397  ax-14 1402  ax-17 1416  ax-i9 1420  ax-ial 1424  ax-i5r 1425  ax-ext 2019  ax-sep 3866  ax-pow 3918  ax-pr 3935

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 886  df-tru 1245  df-fal 1248  df-nf 1347  df-sb 1643  df-clab 2024  df-cleq 2030  df-clel 2033  df-nfc 2164  df-v 2553  df-dif 2914  df-un 2916  df-in 2918  df-ss 2925  df-nul 3219  df-pw 3353  df-sn 3373  df-pr 3374  df-op 3376  df-opab 3810  df-xp 4294

This theorem is referenced by:  res0  4559  xp0  4686  xpeq0r  4689  xpdisj1  4690  xpima1  4710