ILE Home Intuitionistic Logic Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  ILE Home  >  Th. List  >  0xp Structured version   GIF version

Theorem 0xp 4347
Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)
Assertion
Ref Expression
0xp (∅ × A) = ∅

Proof of Theorem 0xp
Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 elxp 4289 . . 3 (z (∅ × A) ↔ xy(z = ⟨x, y (x y A)))
2 noel 3205 . . . . . . 7 ¬ x
3 simprl 471 . . . . . . 7 ((z = ⟨x, y (x y A)) → x ∅)
42, 3mto 575 . . . . . 6 ¬ (z = ⟨x, y (x y A))
54nex 1370 . . . . 5 ¬ y(z = ⟨x, y (x y A))
65nex 1370 . . . 4 ¬ xy(z = ⟨x, y (x y A))
7 noel 3205 . . . 4 ¬ z
86, 72false 604 . . 3 (xy(z = ⟨x, y (x y A)) ↔ z ∅)
91, 8bitri 173 . 2 (z (∅ × A) ↔ z ∅)
109eqriv 2019 1 (∅ × A) = ∅
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   wa 97   = wceq 1228  wex 1362   wcel 1374  c0 3201  cop 3353   × cxp 4270
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918
This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-opab 3793  df-xp 4278
This theorem is referenced by:  res0  4543  xp0  4670  xpeq0r  4673  xpdisj1  4674  xpima1  4694
  Copyright terms: Public domain W3C validator