Theorem 0xp 4347

Description: The cross product with the empty set is empty. Part of Theorem 3.13(ii) of [Monk1] p. 37. (Contributed by NM, 4-Jul-1994.)

Assertion

Ref	Expression
0xp	⊢ (∅ × A) = ∅

Proof of Theorem 0xp

Dummy variables x y z are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		elxp 4289	. . 3 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)))
2		noel 3205	. . . . . . 7 ⊢ ¬ x ∈ ∅
3		simprl 471	. . . . . . 7 ⊢ ((z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)) → x ∈ ∅)
4	2, 3	mto 575	. . . . . 6 ⊢ ¬ (z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
5	4	nex 1370	. . . . 5 ⊢ ¬ ∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
6	5	nex 1370	. . . 4 ⊢ ¬ ∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A))
7		noel 3205	. . . 4 ⊢ ¬ z ∈ ∅
8	6, 7	2false 604	. . 3 ⊢ (∃x∃y(z = ⟨x, y⟩ ∧ (x ∈ ∅ ∧ y ∈ A)) ↔ z ∈ ∅)
9	1, 8	bitri 173	. 2 ⊢ (z ∈ (∅ × A) ↔ z ∈ ∅)
10	9	eqriv 2019	1 ⊢ (∅ × A) = ∅

Syntax hints:   ∧ wa 97   = wceq 1228  ∃wex 1362   ∈ wcel 1374  ∅c0 3201  ⟨cop 3353   × cxp 4270

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-in1 532  ax-in2 533  ax-io 617  ax-5 1316  ax-7 1317  ax-gen 1318  ax-ie1 1363  ax-ie2 1364  ax-8 1376  ax-10 1377  ax-11 1378  ax-i12 1379  ax-bnd 1380  ax-4 1381  ax-14 1386  ax-17 1400  ax-i9 1404  ax-ial 1409  ax-i5r 1410  ax-ext 2004  ax-sep 3849  ax-pow 3901  ax-pr 3918

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-3an 875  df-tru 1231  df-fal 1234  df-nf 1330  df-sb 1628  df-clab 2009  df-cleq 2015  df-clel 2018  df-nfc 2149  df-v 2537  df-dif 2897  df-un 2899  df-in 2901  df-ss 2908  df-nul 3202  df-pw 3336  df-sn 3356  df-pr 3357  df-op 3359  df-opab 3793  df-xp 4278

This theorem is referenced by:  res0  4543  xp0  4670  xpeq0r  4673  xpdisj1  4674  xpima1  4694