Theorem trint 3869

Description: The intersection of a class of transitive sets is transitive. Exercise 5(b) of [Enderton] p. 73. (Contributed by Scott Fenton, 25-Feb-2011.)

Assertion

Ref	Expression
trint	|- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Distinct variable group:   x, A

Proof of Theorem trint

Dummy variable y is distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dftr3 3858	. . . . . 6 |- ( Tr x <-> A. y e. x y C_ x )
2	1	ralbii 2330	. . . . 5 |- ( A. x e. A Tr x <-> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
3	2	biimpi 113	. . . 4 |- ( A. x e. A Tr x -> A. x e. A A. y e. x y C_ x )
4		df-ral 2311	. . . . . 6 |- ( A. y e. x y C_ x <-> A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
5	4	ralbii 2330	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) )
6		ralcom4 2576	. . . . 5 |- ( A. x e. A A. y ( y e. x -> y C_ x ) <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
7	5, 6	bitri 173	. . . 4 |- ( A. x e. A A. y e. x y C_ x <-> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
8	3, 7	sylib 127	. . 3 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) )
9		ralim 2380	. . . 4 |- ( A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
10	9	alimi 1344	. . 3 |- ( A. y A. x e. A ( y e. x -> y C_ x ) -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
11	8, 10	syl 14	. 2 |- ( A. x e. A Tr x -> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
12		dftr3 3858	. . 3 |- ( Tr |^| A <-> A. y e. |^| A y C_ |^| A )
13		df-ral 2311	. . . 4 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) )
14		vex 2560	. . . . . . 7 |- y e. _V
15	14	elint2 3622	. . . . . 6 |- ( y e. |^| A <-> A. x e. A y e. x )
16		ssint 3631	. . . . . 6 |- ( y C_ |^| A <-> A. x e. A y C_ x )
17	15, 16	imbi12i 228	. . . . 5 |- ( ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
18	17	albii 1359	. . . 4 |- ( A. y ( y e. |^| A -> y C_ |^| A ) <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
19	13, 18	bitri 173	. . 3 |- ( A. y e. |^| A y C_ |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
20	12, 19	bitri 173	. 2 |- ( Tr |^| A <-> A. y ( A. x e. A y e. x -> A. x e. A y C_ x ) )
21	11, 20	sylibr 137	1 |- ( A. x e. A Tr x -> Tr |^| A )

Syntax hints:   -> wi 4   A.wal 1241   e. wcel 1393   A.wral 2306   C_ wss 2917   |^|cint 3615   Tr wtr 3854

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-mp 7  ax-ia1 99  ax-ia2 100  ax-ia3 101  ax-io 630  ax-5 1336  ax-7 1337  ax-gen 1338  ax-ie1 1382  ax-ie2 1383  ax-8 1395  ax-10 1396  ax-11 1397  ax-i12 1398  ax-bndl 1399  ax-4 1400  ax-17 1419  ax-i9 1423  ax-ial 1427  ax-i5r 1428  ax-ext 2022

This theorem depends on definitions:  df-bi 110  df-tru 1246  df-nf 1350  df-sb 1646  df-clab 2027  df-cleq 2033  df-clel 2036  df-nfc 2167  df-ral 2311  df-v 2559  df-in 2924  df-ss 2931  df-uni 3581  df-int 3616  df-tr 3855

This theorem is referenced by:  onintonm  4243